Chuyên đề Hằng đẳng thức và ứng dụng

1

Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG

A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức

1. Bình phương của một tổng: =   2 2 2 2 B AB A B A       AB B A 4 2  

2. Bình phương của một hiệu: =     2 2 2 2 2 B AB A A B B A         AB B A 4 2  

3. Hiệu của hai bình phương:    B A B A B A     2 2

4. Lập phương của tổng:     B A AB B A B AB B A A B A          3 3 3 3 3 3 2 2 3 3

5. Lập phương của hiệu:     B A AB B A B AB B A A B A          3 3 3 3 3 3 2 2 3 3

6. Tổng hai lập phương:     ) .( 3 3 2 2 3 3 B A AB B A B AB A B A B A         

7. Hiệu hai lập phương:    ) .( 3 ) ( 3 2 2 3 3 B A AB B A B AB A B A B A         

* Một số hằng đẳng thức tổng quát

1. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1)

2. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)

3. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k)

4. (a + b)n = an + nan-1b + 2.1

)1 (  n n an-2b2+…+ 2.1

)1 (  n n a2bn-2 +nabn-1 + bn

5. (a -b)n = an - nan-1b + 2.1

)1 (  n n an-2b2- …- 2.1

)1 (  n n a2bn-2 +nabn-1 - bn

Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :

1     AC BC AB C B A C B A         2 2 2 2 2

2.       C A C B B A C B A C B A          . . 3 3 3 3 3

3.     

2 2 2 2 2 B A B A B A     

4.      

2 2 2 2 2 2 . BY AX BY AX Y X B A      

Bài tập 2. Tính :

a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

Giải

a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)

A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)

A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005

A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = …

B =(232 - 1)(232 + 1) – 264

ThuVienDeThi.com

2

B = 264 – 1 – 264

B = - 1

* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = - 2x2 + 8x – 15

Giải

a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3

Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.

b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16

Dấu “ =” xảy ra  x – 4 = 0  x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.

c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7

Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.

* Chú ý:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A > m với m là một hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A < t với t là một hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )

Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c

Giải

( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )

 a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac

 a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0

 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0

 ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0

 ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0

 ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0

 a = b hay b = c hay c = a

 a = b = c

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

ThuVienDeThi.com