Toán 10 - Chuyên đề 6 Bất đẳng thức

Chuyeân ñeà boài döôõng HSG

Trang - 1 -

CHUYEÂN ÑEÀ 6: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

A. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN: 1) Bất đẳng thức cauchy cho hai, ba số không âm

(hoặc ) dấu = xảy ra khi x = y 2 x y xy  

2 2

2 x y xy  

(hoặc ) dấu = xảy ra khi x = y = z 3 3 x y z xyz   

2 2 2

3 x y z xyz   

2) Một số hệ quả của BĐT cauchy

a) hoặc 1 1 ( ) 4 x y x y         

1 1 4 x y x y   

b) hoặc 1 1 1 ( ) 9 x y z x y z           

1 1 1 9 x y z x y z     

c) hoặc 3 2 x y z y z z x x y      

1 1 1 9 ( ) 2 x y z y z z x x y              

d) hoặc

2 2 2

2 2 a b a b        

2 2 2 2

3 3 a b c a b c          

e) ; x2 + y2 + z2 xy + yz + xz 2 x y y x   

f) (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) g) x2 + y2 + z2 (x + y + z)2 3(x2 + y2 + z2)   

* Chuù yù : Neáu a + b + c = 0 thì 3 3 3

3 3 3 1 1 1 1 3 3 a b c abc vaø abc a b c      

3) Bất đẳng thức Bunhia-copxki:

a) dấu = xảy ra khi 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) a b x y ax by     x y a b 

b) dấu = xảy ra khi 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) a b c x y z ax by cz        x y z a b c  

4) Bất đẳng thức Svacsơ

trong đó a, b, c > 0 dấu = xảy ra khi

2 2 2 2 ( ) x y z x y z a b c a b c       

x y z a b c  

B. BÀI TẬP * Một số bài tập về ba cạnh của tam giác. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Bài 1: a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca)  Bài 2: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 với a + b + c = 2 Bài 3: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) < abc Bài 4: a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3

Bài 5: 3 a b c b c a c a b a b c        

Bài 6: 4 9 16 26 a b c b c a c a b a b c        

Bài 7: < 2 3 2

a b c b c a c a b      

Bài 8: A = (với p = ) 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c               2 a b c  

Bài 9: B = (p – a)(p – b)(p – c) 8 abc 

ThuVienDeThi.com

Chuyeân ñeà boài döôõng HSG

Trang - 2 -

Bài 10: C = 6 a b c p b p c p a      

Bài 11: D = 9 p p p p a p b p c      

Bài 12: E = 0 b a c b a c p b p c p a         

Bài 13: F = 4 ab bc ac p p c p a p b       Bài 14: 3 p p a p b p c p       

CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH KHÁC

Bài 1: Cho 2 số dương a , b có a + b = 1 .Chứng minh rằng:

a) ; b) ; c) 2 2 1 1 6 ab a b    2 2 2 3 14 ab a b   

2 2 1 2 4 11 ab a b ab    

d) ; e) ; f) 2 2 1 1 1 . 1 9 a b            

1 1 4 1 1 3 a b    

2 2 1 1 25

2 a b a b                

g) h) m) 3 3 1 1 4 2 3 a b ab    

4 4 1 5 2( ) 4 4 a b ab   

Bài 2: Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1 Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b a c c a b      

Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1 Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) a b c b a c c a b      

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc + ca = 1 Chứng minh:

3 3 3 1 2 a b c a b b c c a      

Bài 5: Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc + ca 3 Chứng minh: 

4 4 4 3 3 3 3 4 a b c b c c a a b      

Bài 6: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh:

3 3 3

2 2 2

3 (1 ) (1 ) (1 ) 2 a b c a b c      

Bài 7: Cho a, b, c > Chứng minh: 1 4 3 2 1 2 1 2 1 a b c b c a      

Bài 7: Cho a, b, c > 0 Chứng minh: 12 1 1 1 a b c b c a      

Bài 8: Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1 Chứng minh:

3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 a b c b c c a a b         

Bài 9: Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc+ ca = 1 chứng minh

2 2 2

3 2 1 1 1

a b c

a b c      

Bài 10: Cho a, b, c > 0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3 chứng minh

3 3 3 1 1 1 1 1 8 1 8 1 8 a b c      

Bài 11: Cho a, b, c > 0 thỏa chứng minh: 1 ab bc ca   

2 2 2 1 2 a b c b c c a a b      

Bài 12: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 6 chứng minh: 3 ab bc ca a b b c a c      

Bài 13: Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = 1 chứng minh: 2 2 2 1 1 1 1 30 a b c ab bc ca      

ThuVienDeThi.com