Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lâm Đồng năm học 2003 - 2004 môn thi Toán (lớp 10 chuyên toán)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN

LÂM ĐỒNG Năm học: 2003 - 2004   ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN (Lớp 10 chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài I: (6 điểm)

1. Cho a > 0, chứng minh nếu ta có thì ta cũng có a + . a

1 a a 1 a    3 a 1 

2. Giải hệ phương trình:

9 8 1 2 3 3 4 2 2 3

x y x y

x y x y

       

3. Cho phương trình: x4 – (m2 – 4)x2 – (m2 + 3) = 0. (1) (x là ẩn, m là tham số)

Chứng minh: phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

Bài II: (7 điểm)

1. Người ta muốn dùng các thanh sắt có độ dài bằng nhau để xếp thành mạng ô vuông hình chữ nhật như hình vẽ (1). Nếu chiều dài hình chữ nhật gồm 120 thanh và chiều rộng hình chữ nhật gồm 20 thanh thì phải dùng bao nhiêu thanh sắt để tạo thành mạng như trên.

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = . 2

3

1 x x x 

 3. Cho phương trình bậc hai (x là ẩn, m là tham số):

(m+2)x2 + 2(3m – 2)x + m + 2 = 0.(m –2) (*).  Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa: . ) ( 1 x x 2 1 x x 2 2 1 2 2 2 1    

4. Với mỗi số thực m và số nguyên dương n ta định nghĩa (m n) như sau:

(m n) . Hãy tính ( 2003) : ( 2003) ( 1)( 2)( 3)...( 1) 1.2.3... m m m m m n n   1 2  1 2

Bài III: (7 điểm)

1. Cho tam giác ABC, AM trung tuyến (M BC). a. Chứng minh : AB + AC > 2AM b. I là một điểm thuộc đoạn BM (IB, IM), qua I kẻ đường thẳng song song với AM cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Chứng minh IE+ ID = 2AM .

2. Trên đường tròn (O) lấy dây cung AB cố định, M là một điểm tùy ý trên cung AB

( với MA, MB) . Gọi K là trung điểm của đoạn MB. Chứng minh đường thẳng qua K và vuông góc với AM luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên cung AB.

Họ và tên thí sinh: ................................……………….Số báo danh: .................Chữ ký Giám thị 1: ……………………….

120

20

Hình vẽ (1)

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN Môn TOÁN (Lớp 10 chuyên Toán)

Bài I: (6 điểm)

1. Chứng minh: a + . (2điểm) 3 a 1 

+/ Từ đề bài => . (0,5điểm) 1 1 1 ( )( ) a a a a a a 

+/ => . (0,5điểm) 1 ( ) 1 a

a 

+/ => (0,5điểm) 2 1 ( ) 1 a

a 

+/ => a + (0,5điểm) 3 a 1 

2. Giải hệ phương trình: (2điểm)

9 8 1 2 3 3 4 2 2 3

x y x y

x y x y

        +/ Điều kiện: x + y  2 và x – y  – 3. (0,5điểm)

+/ Đặt U = và . Ta có hệ: . (0,5điểm) 3

2 x y 

4

3 V x y  

3 2 1 2 U V U V      +/ Tìm được U = V = 1 (0,5điểm) +/ Giải hệ ta có x = 3 và y = 2. (0,5điểm)

3. Chứng minh: phương trình luôn có nghiệm với mọi m. (2điểm)

+/ Đặt x2 = X (X  0) Ta có phương trình: X2 – (m2 – 4)X –(m2 + 3) = 0.(2) (0,5điểm)

+/ Nhận xét phương trình (2) có nghiệm. (0,5điểm)

+/ Nhận xét phương trình (2) có nghiệm trái dấu (0,5điểm)

+/ Từ nghiệm dương của phương trình (2) => phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Bài II: (7 điểm) (0,5điểm) 1. Số thanh sắt (1,5điểm): mỗi ý cho 0,5điểm +/ Có 121 cột, mỗi cột có 20 thanh suy ra số thanh xếp theo cột dọc: 121.20 = 2420

+/ Có 21 dòng, mỗi dòng có 120 thanh suy ra số thanh xếp theo cột dọc: 21.120 = 2520. +/ Số thanh sắt phải dùng: 2420 + 2520 = 4940.

2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y = . (2điểm) 2

3

1 x x x 

 */ Giá trị lớn nhất: (1điểm)

+/ Ta có y . (0,5điểm)

2

2 3( 1) 3 3 1 x x x    +/ Khi x = –1 thì y đạt GTLN là 3 (0,5điểm) */ Giá trị nhỏ nhất: (1điểm)

+/ Ta có y . (0,5điểm)

2

2 ( 1) 1 1 1 x x x    +/ Khi x = 1 thì y đạt GTNN là –1. (0,5điểm)

ThuVienDeThi.com