Hướng dẫn giải 20 bài dãy số - Lớp 7

1

HD giải các bài toán dãy số

DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.

Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99

Cách 1: Tổng B có thể như sau:

B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia

thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949,

 khi đó B = 1 + 4949 = 4950

Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số

hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao

nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.

Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:

Cách 2:

B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 +

B = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100

2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 

Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999

Lời giải:

Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng

các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng

trên có 250 cặp số)

Cách 2: Ta thấy:

1 = 2.1 - 1

3 = 2.2 - 1

5 = 2.3 - 1

...

999= 2.500- 1

Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số

các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.

ThuVienDeThi.com

2

Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:

C = 1 + 3 + ... + 997 + 999 +

C = 999 + 997 + ... + 3 + 1

2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000

2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 

Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998

Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để

tìm số các số hạng của tổng D như sau:

Ta thấy:

10 = 2.4 + 2

12 = 2.5 + 2

14 = 2.6 + 2

...

998 = 2.498 + 2

Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác

ta lại thấy: hay 998 10 495 1 2

  

số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1

Khi đó ta có:

D = 10 + 12 + ... + 996 + 998 +

D = 998 + 996 + ... + 12 + 10

2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008

2D = 1008.495 D = 504.495 = 249480 

Thực chất (998 10)495

2 D  

BÀI TỔNG QUAT

Qua các ví dụ trên , ta rút ra một cách tổng quát như sau:

Cho dãy số cách đều u1, u2, u3, ... .......un (*),

khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d,

ThuVienDeThi.com

3

Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: (1) 1 1 n u u n d

  

Tổng các số hạng của dãy (*) là (2) 1 ( ) 2

n n

n u u S  

Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là:

un = u1 + (n - 1)d

Hoặc khi u1 = d = 1 thì Tổng các số hạng của dãy sô tự nhiên

Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10

Lời giải

Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với

100, khi đó ta có:

100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899) +

9910 = 485495 + 9910 = 495405 (1011 9899).98 9910 2    

E = 4954,05

(Ghi chú: Vì số các số hạng của dãy là ) (9899 1011) 1 98 101

 

Bài 5. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.

Lời giải

Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:

S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = . Khi đó ta ( 4006) .2004 ( 2003).2004 2 a a a          

có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004. 

Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010

Nhận xét:

Sau khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn, bởi vì đó

là toàn bộ những bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp mấy khó khăn khi

tiếp thu. Tuy nhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu các dạng toán

ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn một chút.

S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n ( 1) 2 n n  

ThuVienDeThi.com