10 Bài toán hay về tam giác

1

HD gải 10 Bài toán hay về tam giác

Bài 1:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho BE gấp đôi AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD gấp đôi AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.

Hướng giải: Xét các cặp tam giác có cùng đỉnh và có tỉ lệ 2 đáy tương ứngsuy ra tỉ lệ S: S∆BDE = 2S ∆AED = 5 x 2 = 10 (cm2) S∆ABD = 10 + 5 = 15 (cm2) S∆BDC = 2 S∆ABD = 15 x 2 = 30 (cm2)

 SBCDE = S∆BDE + S∆BDC = 10 + 30 = 40 cm2

Bài 2:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm I, sao cho IB=IC. Nối AI, trên đoạn AI lấy điểm M để có MI=1/2AM. Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN. (Phỏng theo đề thi HSG Toán cấp Tỉnh An Giang khoảng năm 1983_1984)

Giải

Ta có S∆MIC= 1/2 S∆MCA (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C). S∆MIC=S∆MIB (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M). Cho ta: S∆AMC= S∆BMC (SBMC=SMIC+SMIB). Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B xuống cạnh đáy MC bằng nhau. Hai đường cào này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam giác này lại có cạnh đáy chung là MN.  Vậy: S∆AMN=S∆BMN

ThuVienDeThi.com

2

Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?

Gợi ý tìm cách giải Nếu N là điểm K trung điểm của AC thì NB (KB) sẽ chia hình tam giác ABC làm 2 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Do NA < NC nên điểm M phải nằm trên BC. Qua hình vẽ cho ta thấy điểm M trên BC thế nào để NM và KB kết hợp với 2 cạnh của ABC để có 2 hình tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau thì M chính là điểm cần tìm.

Giải

Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK. Ta có S∆ABK = S∆CBK (K trung điểm AC) ==> S∆ABK = 1/2 S∆ABC Từ K kẻ đoạn thẳng song song với NB cắt BC tại M. Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK và BOM có diện tích bằng nhau. (SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ; SBOM= SNBM – SNBO ==> SNOK=SBOM ) Tứ giác ABMN có: SABMN = S∆ABK + S∆BOM – S∆NOK = S∆ABK = S∆ABC  Vậy M chính là điểm cần tìm.

Bài 4: (So sánh diện tích 2 tam giác). Cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh AD. Đoạn thẳng AC cắt BM tại N. a, Diện tích tam giác BMC gấp mấy lần Diện tích tam giác AMB? b, Diện tích tam giác BNC gấp mấy lần diện tích tam giác ANB ? Tính diện tích hình vuông ABCD biết diện tích tam giác ANB bằng 1,5 dm2

Giải

ThuVienDeThi.com

3

a) Theo đề bài : AM = 1/2 AD nên AM = 1/2 BC.--> Ta có :

S∆AMB = 1/2 S∆BMC ( vì cạnh đáy AM = 1/2BC, chiều cao từ M xuống BC bằng chiều cao

BA) hay S∆BMC = 2 x S∆AMB

b) Từ câu a: S∆BMC = 2 x S∆AMB mà hai tam giác này chung đáy MB nên chiều cao CI

gấp đôi chiều cao AH. Mặt khác tam giác BNC và ANC có chung đáy NB, chiều cao CI = 2 x AH Suy ra S∆BNC = 2 x S∆ANB S∆ABC = 1/2 sABCD ( .....)

S∆ABC = 1.5 x (1+2) = 4,5 (dm2)  SABCD = 4,5 x 2 = 9 (dm2)

Bài 5: Tính độ dài đoạn thẳng Cho tam giác ABC có BC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy điểm chính giữa D. Nối B với D. Trên BD lấy điểm E sao cho BE gấp đôi ED. Nối AE, kéo dài cắt BC ở M. Tính độ dài đoạn BM.

Giải

S∆AED = S∆EDC (AD=DC ; chung dường cao kẻ từ E) SAED = ½ SAEB (ED = ½ BE ; chung đường cao kẻ từ A) Suy ra SABE = SAEC Mà 2 tam giác này có chung đáy AE nên dường cao kẻ từ B và đường cao kẻ từ C xuống AM bằng nhau. 2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BEM và CEM và có chung đáy EM.  Suy ra SBEM = SCEM  Vậy BM = MC = 8 : 2 = 4 (cm)

 Bài 6: Cho hình tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3 AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = 1/4 AC. Nối M với C, nối N với B cắt nhau tại O. Hãy so sánh diện tích tam giác BOC và diện tich tam giác ABC. Giải Nối A với O. Ta có: S∆ ABN = 1/3 S∆ BNC nên đường

cao kẻ từ A và C xuống NB có tỉ lệ 1/3 Suy ra S∆ ABO = 1/3 S∆ BOC (chung đáy OB)

ThuVienDeThi.com