Tài liệu lớp 9 môn Toán chủ đề tỉ số lượng giác của góc nhọn

1

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa:

Cho góc nhọn ( ) 0 0 0 90 α α < < . Dựng ABC ∆ vuông tại A

sao cho ˆ ABC α = . Từ đó ta có:

; ; ; AC AB AC BC sin cos tan cot BC BC BC AC α α α α = = = =

Ta có bảng tóm tắt:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α Công thức

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin

của góc α , kí hiệu sinα

AC sin BC α =

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin

của góc α , kí hiệu cosα

AB cos BC α =

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của

góc α , kí hiệu tanα

AC tan BC α =

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang

của góc α , kí hiệu cotα

BC cot AC α =

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang

góc kia

Cụ thể ta có: Nếu 0 90 α β + = thì Sin = os ;Cos =Sin ;tan =cot ;tan =cot C α β α β α β β α

3. Một số hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác

+) 1 Sinα ≤ +) os 1 C α ≤ +) tan os Sin C α α α =

+) tan . 1 Cot α α = +) 2 2 os 1 Sin C α α + = +) os Sin C Cot α α α =

+) 2 2 1 1 tan cos α α + = +) 2 2 1 1 Cot Sin α α + =

α

Cạnh đối Cạnh huyền

Cạnh kề C

B

A

2

4. Bảng tỷ số lượng giác của một số góc đặc biệt

0 30 0 45 0 60 0 90

Sinα 1 2 2 2 3 2 1

cosα 3 2 2 2

1 2 0

tanα 3 3 1 3 

cotα 3 1 3 3 0

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Cách giải: Sử dụng các kiến thức trong phần tóm tắt lý thuyết

Bài 1:

Đề bài Lời giải

Tìm các tỉ số lượng giác còn lại của góc α,

biết:

a. 3 5 Sinα = b. 12 =13 cosα c. 4 3 tanα =

Ta có:

2 2 2 16 4 1 = ( 0) 25 5 Sin cos cos cos cos α α α α α + = ⇒ = ⇒ >

3 4 = ; 4 3 tan cot α α ⇒ =

Bài 2:

Đề bài Lời giải

Tìm góc nhọn α, biết:

a. sin cos α α =

b. tan cot α α =

a) Ta có:

( ) 0 90 sin cos sin sin α α α α = ⇒ = −

0 0 90 45 α α α ⇔ = − ⇒ =

b) Ta có: ( ) 0 90 tan cot tan tan α α α α = ⇒ = −

0 0 90 45 α α α ⇔ = − ⇒ =

Bài 3:

Đề bài Lời giải

3

Tính giá trị của các biểu thức sau

a. 2 0 2 0 3 0 4 45 2 60 3 45 A sin cos cot = − + −

b. 0 0 0 45 . 30 . 30 B tan cos cot =

c. 2 0 2 0 2 0 15 25 ... 75 C cos cos cos = + + +

d. 2 0 2 0 2 0 10 20 ... 80 D sin sin sin = + + +

a) Ta có:

2 2 2 1 4 2. 3 1 2 2 A     = − + − =          

b) Ta có: 3 3 1. . 3 2 2 B = =

c) Ta có:

( ) 2 0 2 0 2 0 15 75 ... 45 C cos cos cos = + + +

2 2 7 1 1 1 2 2

  = + + + =      

d) Ta có:

( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 2 0 10 10 ... 40 40 D sin cos sin cos = + + + +

1 1 1 1 4 = + + + =

Bài 4:

Cho tam giác ABC vuông tại C có

1,2 ; 0,9 BC cm AC cm = = . Tính các tỉ số lượng

giác của góc B , từ đó suy ra tỉ số lượng

giác của góc A

Lời giải

Ta có: 3 4 3 4 ; ; ; 5 5 4 3 SinB cosB tanB CotB = = = =

4 3 4 3 ; ; ; 5 5 3 4 SinA CosA tanA cotA ⇒ = = = =

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A có

1,6 ; 1,2 AB cm AC cm = = . Tính các tỉ số lượng

giác của góc B , từ đó suy ra tỉ số lượng

giác của góc C .

1,2

0,9

B

A

C

1,2

1,6 B A

C

4

Lời giải

Ta có: 3 4 3 4 ; ; ; 5 5 4 3 SinB cosB tanB cotB = = = =

4 3 4 3 ; ; ; 5 5 3 4 SinC CosC tanC cotC ⇒ = = = =

Bài 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao

( ) AH H BC ∈ , hãy tính sinB và sinC làm

tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư

trong các trường hợp sau

a) 13 , 0,5 AB m BH dm = =

b) 3 , 4 BH cm CH cm = =

Lời giải

a) Áp dụng các tỉ số lượng giác cho tam giác vuông ABH để tính sinB , rồi từ đó suy ra sinC

b) Áp dụng hệ thức lượng về cạnh góc vuông và hình chiếu lên cạnh huyền trong tam giác

vuông ABC để tính AB . Sau đó làm tương tự câu a

Bài 7:

Cho tam giác ABC có 5, 3 AB a BC a = =

2 AC a =

a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B , từ

đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A

Lời giải

a) Dùng định lý pytago đảo, ta có:

( ) 2 2 2 2 2 2 5 3 2 AB AC BC a a a ABC = + = + ⇒∆ vuông tại C

b) Tính được:

- 2 6 5 5 SinB = = - 3 15 cos 5 5 B = =

4 3 5

13

H C B

A

B

A

C