Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Trang 01

CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

I. Phương pháp 1 chứng minh: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.

CÁC VÍ DỤ.

Mức độ 1: NB.

Câu 1: Cho hình thang ABCD / / , ( ) AB CD AB CD  có   0 60 C D   , 2 CD AD  . Chứng minh bốn

điểm , , , A B C D cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm CD, ta có / / IC AB ICBA IC AB     

là hình hành BC AI   (1)

Tương tự AD BI  (2)

ABCD là hình thang có   0 60 C D   nên ABCD là hình thang cân(3); mà

Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ; ICB IAD đều hay D IA IB IC I    hay bốn điểm

, , , A B C D cùng thuộc một đường tròn.

Câu 2: Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm hai đường chéo. , , M N R và S lần lượt là hình

chiếu của O trên , , AB BC CD và DA . Chứng minh bốn điểm , , M N R và S cùng thuộc một

đường tròn.

Trang 02

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của ,BD AC ; ,BD AC là phân giác góc

, , , A B C D nên MAO SAO NCO PDO OM ON OP OS         hay bốn điểm

, , M N R và S cùng thuộc một đường tròn.

Câu 3: Cho tam giác ABC có các đường cao BH vàCK .

Chứng minh , , , B K H C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm CB , do ; CHB CKB   vuông tại , H K nên IC IB IK IH    hay

, , , B K H C cùng nằm trên một đường tròn tâm I .

Mức độ 2: TH.

Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I ( I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F . Chứng minh: BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Hướng dẫn giải

F

E

I O

D

C

B A

Tứ giác BEFI có:  0 BIF 90  (gt)

  0 BEF BEA 90   (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF

Câu 5: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn   ; O R ta vẽ hai tiếp tuyến , AB AC với đường tròn

( B , C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M , vẽ MI AB  , MK AC  ,

MI AB, MKAC   , I AB K AC  

Trang 03

a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ   MP BC P BC   . Chứng minh: CPMK là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

H

O

P

K

I M

C B

A

a) Ta có:   0 AIM AKM 90   (gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM.

b) Tứ giác CPMK có   0 MPC MKC 90   (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp

Câu 6: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc

cạnh BC sao cho:  0 IEM 90  ( I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông ).

a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Tính số đo của góc  IME

c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC ; K là giao điểm của BN và tia EM . Chứng min BKCE là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

I

E

M

N

B C

A D

K

a)Tứ giác BIEM :   0 IBM IEM 90   (gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM .

b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra:   0 IME IBE 45   (do ABCD là hình vuông).