Chuyên đề hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU

A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hình cầu

- Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố điịnh ta thu được một hình cầu.

- Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu.

- Điểm O gọi là tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.

2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng

- Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn.

- Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn, trong đó:

+ Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn).

3. Diện tích, thể tích

Cho hình cầu bán kính R.

- Diện tích mặt cầu: 2 4 . S R  

- Thể tích hình cầu: 3 4 . 3 V R  

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu và các đại lượng liên quan

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức 2 4 S R   và 3 4 3 V R   để tính diện tích mặt cầu, thể tích hình

cầu và các đại lượng liên quan.

1.1. Điền vào các ô trông trong bảng sau:

Bán kính hình

cầu

0,4 mm 6dm 0,2 m 100 km 6hm 50 dam

Diện tích mặt

cầu

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Thể tích hình

cầu

1.2. Dụng cụ thể thao các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trông ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ sô' thập phân thứ hai):

Loại bóng

Quả

bóng

gôn

Quả khúc côn

cầu

Quả

ten-nít

Quả

bóng

bàn

Quả bia

Đường

kính

42,7mm

6,1 cm

Độ dài đường tròn

lớn

23 cm

Diện tích 1697cm2

Thể tích 36 nem3

2.1. Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng cm2) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính bằng cm3). Tính bán kính của hình cầu đó.

2.1. Một hình cầu có diện tích bề mặt là 1007m2. Tính thể tích hình cầu đó.

Dạng 2. Bài tập tổng hợp

Phương pháp giải: Vận dụng các công thức trên và các kiến thức đã học để tính các đại lượng chưa biết rồi từ đó tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu.

3.1. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

a) Chứng minh MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh AM.BN = R2.

c) Tính tỉ số MON

APB

S S khi . 2 R AM 

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quan AB sinh ra.

3.2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC.

III. BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

4. Một hình cầu có bán kính 3cm. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3cm và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.

5. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa:

a) Diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ;

b) Thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.

6. Cho một hình câu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số phần trăm giữa:

a) Diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình lập phương;

b) Thể tích hình cầu và thể tích của hình lập phương.

7. a) Tìm diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu, biết bán kính của hình cầu là 4cm.

b) Thể tích của một hình cầu là 512cm2. Tính diện tích mặt cầu đó.

HƯỚNG DẪN

1.1. Ta thu được kết quả trong bảng sau:

Bán kính hình cầu 0,4mm 6dm 0,2m 100km 6hm 50dam

Diện tích mặt cầu

16 25

mm2

144

dm2

4 25

m2

40000

km2

144

hm2

10000

dam2

Thể tích hình cầu

32 375



mm3

288

dm3

4 375 

m3

4000000 3 

km3

288

hm2

500000 3 

dam3

1.2. Ta thu được kết quả trong bảng sau: