Chuyên đề tứ giác nội tiếp

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

- Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có

bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

- Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và

(O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

2. Định lí

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đổi bằng 180°.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường

tròn ngoại tiếp tứ giác.

-Tứ giác có hai đinh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

Chú ý: Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đôì bằng 180°.

Cách 2. Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

Cách 4. Tìm được một điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác.

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

1.1. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và

BNMC là những tứ giác nội tiêp.

1.2. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B, c là tiếp

điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

2.1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần

lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp.

2.2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với

BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp.

Dạng 2. Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các

đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng...

Phương pháp: Sử dụng tính chât của tứ giác nội tiếp.

3.1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB

tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:

a) Tứ giác AtìCK là tứ giác nội tiếp;

b) AHì.AB = AD2;

c) Tam giác ACE là tam giác cân.

3.2. Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M  OA (M không trùng o và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông

góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nôi NB cắt (O) tại c. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ là tiếp điểm,

E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:

a) Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn;

b) NE2 = NC.NB;

c)   NEH NME  (H là giao điểm của AC và d);

d) NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O).

4.1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy

K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.

a) Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AHAK có giá trị không phụ thuộc vị ữí điểm K.

c) Kẻ DN  CB, DM  AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy.