Chuyên đề cung chứa góc

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CUNG CHỨA GÓC

A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Quỹ tích cung chứa góc

Với đoạn thẳng AB và góc a (0° < a < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn  AMB = a là hai

cung chứa góc a dựng trên đoạn AB.

Chú ý:

- Hai cung chứa góc a nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. Hai điểm A, B được coi là thuộc

quỹ tích.

- Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

2. Cách vẽ cung chứa góc a

- Vẽ đường trung trực d của đoạn thăng AB;

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc a;

- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi o là giao điểm của Ay với d.

- Vẽ cung  AmB , tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.

Cung  AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc a.

3. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải

chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Từ đó đi đến kết luận quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Quỹ tích là cung chứa góc 

Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1. Tìm đoạn cô định trong hình vẽ;

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Bước 2. Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc a không đổi;

Bước 3. Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm là cung chứa góc a dựng trên đoạn cố định.

1.1. Cho tam giác ABC có BC cố định và góc A bằng 50°. Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác

trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D.

1.2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác

trong. Tìm quỹ tích điểm 1 khi điểm A thay đổi.

Dạng 2. Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn

Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phang bờ là AB và cùng nhìn đoạn cố

định AB dưới một góc không đổi.

2.1. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AM lấy điểm

N. Trên tia đổi của tia MA lây điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NB lấy điểm E sao cho NA =

NE, trên tia đối của tia MB lấy điểm c sao cho MC = MA. Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc

một đường tròn.

2.2. Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC với A = 60°. Gọi H là trực

tâm của ∆ABC. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Dạng 3. Dạng cung chứa góc

Phương pháp giải: Thực hiện theo bốn bước sau:

Bước 1. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB;

Bước 2. Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α;

Bước 3. Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.

Bước 4. Vẽ cung  AmB , tâm Om bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa

tia Ax. Cung  AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc α.

3.1. Dựng một cung chứa góc 550 trên đoạn thẳng AB = 3cm.

3.2. Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, AB = 3,5cm và A = 500.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

4. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF.

Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh

BC.