Chuyên đề liên hệ giữa cung và dây

LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

2. Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

3. Bổ sung

a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm

của dây căng cung ấy.

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua

điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây

căng cung ấy và ngược lại.

II. BÀI TẬP MINH HỌA

A.BÀI MINH HỌA

Phương pháp giải: Để giải các bài toán liên quan đến cung và dây, cần nắm chắc định nghĩa góc ở

tâm và kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây.

1. Chứng minh hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau.

2. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ dây CD vuông góc

với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh AC = BE.

3. Giả sử AB là một dây cung của đường tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy các điểm C và D sao cho

 D. AC B  Chứng minh AB và CD song song.

4. Giả sử ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D.

Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:

a) BC song song với DE;

b) Tứ giác BCED là hình thang cân.

5. Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O') đường kính AO. Các điểm C, D thuộc

đường tròn (O) sao cho B D C  và BC < BD. Các dây AC và AD cắt đường tròn (O') theo thứ tự tại

E và F. Hãy so sánh:

a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF;

b) Số đo các cung E A và  AF của đường tròn (O').

6. Cho đường tròn tâm o đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho sđ  BM

< 90°. Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại £. Từ R vẽ một đường thẳng song song với

AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh:

a) AB  DN; b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

7. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên các

cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho  . CM BN  Chứng minh:

a) AM = CN; b) MN = CA = CB.

8. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D. Kẻ CH vuông

góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K, AK cắt (O) tại

điểm thứ hai F. Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ  CF và  DB bằng nhau;

b) Hai cung nhỏ  BF và  DE bằng nhau;

c) DE = BF.

HƯỚNG DẪN

1. Trường hợp 1: Tâm O ở giữa của hai dây.

Kẻ OM AB suy ra OM  CD tại N.

Ta chứng minh được   AOM BOM  (1)

Tương tự   CON DON  (2)

Từ (1), (2)     AOC BOC AC BD    

Trường hợp 2: Tâm O nằm ngoài khoảng hai dây. Kẻ OM 

AB suy ra OM  CD tại N.

Tương tự     AOC BOC AC BD   

2. Ta chứng minh   AD BE  , mà CD AB nên . Từ đó suy

ra .

* Cách khác:Chứng minh   AOC BOE   ĐPCM.

3. Ta lấy K là điểm chính giữa cung nhỏ  AB

Ta chứng minh được   CK KD  . Từ đó ta có OK  CD, OK

 AB  CD//AB.

4.

a) HS tự chứng minh.

b) Ta chứng minh được   BE CD  từ đó suy ra BE = CD và

tứ giác BDEC là hình thang cân.

5.