Chuyên đề đường kính và dây cung của đường tròn

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Đường kính và dây của đường tròn

 Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

 Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây

 Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

 Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

B.CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN MINH HỌA

Dạng 1: Các bài toán liên quan đến tính toán trong đường tròn

Bài 1. Cho đường tròn O có bán kính . Dây HK của đường tròn vuông góc với OI tại trung điểm của OI

. Tính độ dài HK .

Bài 2. Cho đường tròn  O , đường kính AD 2R  . Vẽ cung tâm D bán kính R , cung này cắt đường tròn

 O ở B và C .

a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA .

c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 3. Cho đường tròn  O bán kính 4 OA cm  . Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA . Tính

độ dài BC .

Bài 4. Cho đường tròn  O đường kính AD , dây AB . Qua B vẽ dây BC vuông góc với AD tại H . Biết

10 ; 12 AB cm BC cm  

a) Tính độ dài đoạn AH .

b) Tính bán kính đường tròn  O .

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Bài 5. Cho nửa đường tròn  O đường kính AD . Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C . Biết

2 5 , 6 AB BC cm CD cm    . Tính bán kính đường tròn

Bài 6. Cho đường tròn   ; O R đường kính AB . Gọi M là một điểm nằm giữa A và B . Qua M vẽ dây

CD vuông góc với AB . Lấy điểm E đối xứng với A qua M .

a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

b) Giả sử R cm MA cm 6,5 , 4   . Tính CD .

c)* Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB . Chứng minh: MC MH MK R

3 . 2  .

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau

Bài 1. Cho tam giác ABC , các đường cao AH và CK . Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm , , , A C H K cùng thuộc một đường tròn;

b)HK AC. 

Bài 2. Cho đường tròn   O, R và ba dây AB, AC, AD ; gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B trên

các đường thẳng AC, AD . Chứng minh rằng MN 2R  .

Bài 3. Tứ giác ABCD có 0 B D ˆ ˆ 90   .

a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , A B C D cùng thuộc một đường tròn.

b) So sánh độ dài AC và BD . Nếu AC BD  thì tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 4. Cho đường tròn ( ,4 ) O cm Vẽ hai dâyAB và CD vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ

giácACBD .

Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm  O , đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần

lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF . Chứng minh rằng IE KF  .

Bài 2. Cho đường tròn( ) O và dây AB không đi qua tâm. Gọi M là trung điểm của AB . Qua M vẽ dây CD

không trùng với AB . Chứng minh rằng điểm M không là trung điểm của CD .

Bài 3. Cho đường tròn tâm O , đường kính CD . Dây AB cắt đường kính CD tại I . Gọi H và K theo thứ

tự là chân các đường vuông góc kẻ từ C và D đến AB . Chứng minh rằng AH BK  .

Bài 4. Cho đường tròn   O, R đường kính AB . Gọi M là một điểm nằm giữa A và B . Qua M vẽ dây

CD vuông góc với AB . Lấy điểm E đối xứng với A qua M .

a) Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?

b) Giả sử R 6cm  vàMA 4cm  , hãy tínhCD .

c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA vàCB. Chứng minh

3 MH.MK 2 MC R  .