Chuyên đề tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC

NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

.Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là 1 , 2 S ah  trong đó a là độ dài một

cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó.

.Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các

công thức tính diện tích tam giác, tứ giác.

B. BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.

Giải

Gọi  là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH. Xét ACH  vuông tại H có .sin CH AC  

Diện tích ABC  là 1 . . 2 S AB CH  Do dó 1 . .sin . 2 S AB AC  

Lưu ý: Nếu 0 90 ,  ta có ngay 1 . 2 S AB AC 

Như vậy 0 90 1, sin  điều này sẽ học ở các lớp trên.

Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có , , AC m BD n   góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng .

Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức

1 sin . 2 S mn   Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử  . BOC  

Vẽ , .   AH BD CK BD

Ta có sin ; AH OA  

sin CK OC   và . OA OC AC  

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Diện tích tứ giác ABCD là:

1 1 . . 2 2 1 1 ( ) (OAsin sin ) 2 2 1 1 1 sin ( ) . sin sin 2 2 2

   

   

   

ABD CBD S S S BD AH BD CK

BD AH CK BD OC

BD OA OC AC BD mn

 

  

Lưu ý:

• Nếu AC BD  ta có ngay 1 1 . 2 2 AC BD m S n  

• Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác.

Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện

tích tam giác ABC biết 4 2 , 5 , 7 . a cm b cm c cm   

Giải

Theo định lí côsin ta có: 2 2 2 2 cos . a b c bc A   

Do đó  

2 2 2 4 2 5 7 2.5.7.cos A   

Suy ra 2 3 9 4 cos sin 1 cos 1 5 25 5 A A A       

Vậy diện tích tam giác ABC là:   2 1 1 4 sin .5.7. 14 2 2 5 S bc A cm   

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cos A rồi suy ra sin .A Ta cũng có thể vận dụng định lí côsin để tìm cos B rồi suy ra sin B (hoặc tìm cosC rồi suy ra sin ) C

Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có 12 . AC BD cm   Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45 . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Giả sử  45 . AOD  

Diện tích tứ giác ABCD là:

1 1 2 2 . .sin 45 . . . . 2 2 2 4 S AC BD AC BD AC BD   

Theo bất đẳng thức Cô‐si, ta có:

2 . 2 AC BD AC BD       

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Do đó  

2 2 2 2 2 .6 9 2 4 2 4 AC BD S cm          

Vậy 2 max 9 2 S cm  khi 6 . AC BD cm  

Ví dụ 5. Cho tam giác  , 60 . ABC A   Vẽ đường phân giác AD.

Chứng minh rằng: 1 1 3 AB AC AD  

Giải

Ta có

0 1 1 1 . .sin30 . . 2 2 2 ABD S AB AD AB AD  

1 1 1 . . sin30 . . . 2 2 2 ACD S AC AD AC AD  

1 1 3 . .sin 60 . . 2 2 2 ABC S AB AC AB AC  

Mặt khác ABD ACD ABC S S S   nên 1 1 1 1 1 3 . . . . . . 2 2 2 2 2 2 AB AD AC AD AB AC  

Do đó   . 3 AD AB AC AB AC  

Suy ra AB AC 3 1 1 3 hay . AB.AC AD AB AC AD    

Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC.

Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn 2 7cm

Giải

Giả sử   , A B C   khi đó  60 A   và 3 sin 2 A 

Diện tích tam giác ABC là:

  2 1 1 3 . .sin .4.4. 4 3 6,92... 7 . 2 2 2 S AB AC A cm     

Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử

  , A B C   từ đó suy ra  60 , A   dẫn tới 3 sin 2 A 