Chuyên đề giải toán bằng cách lập hệ phương trình

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Các bước chung

Bước 1: Lập hệ phương trình:

-Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết trong bài toán theo ẩn (chú ý đơn vị)

- Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả nghiệm của hệ phương trình với điều kiện bài toán. Kết luận, trả lời,

nêu rõ đơn vị của đáp số.

B.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Bài toán Chuyển động

+ Dựa vào các đại lượng: quãng đường (S), vận tốc (V), và thời gian (T) của vật trong công thức:

S S S V.T;V ;T T V   

+ Chú ý xem vật chuyển động cùng chiều, ngược chiều, hay chuyển động xuôi ngược, xuất phát trước hay

xuất phát sau, có thay đổi vận tốc trên đường đi hay không...

+ Cần chọn mốc thời gian, chọn chiều dương của chuyển động.

+ Dựa vào nguyên lý cộng vận tốc:

Ví dụ khi giải bài toán chuyển động của thuyền trên sông, đạp xe ngược gió, xuôi gió. Khi đó ta có:

vxuôi dòng= vdòng nước+ vthực và vngược dòng = vthực - vdòng nước

Ví dụ minh hoạ 1: Một chiếc xe tải đi từ Tp Hồ Chí Minh đến Tp Cần Thơ, biết quãng đường dài 189

km. Sau khi xe tải xuất phát được một giờ, một chiếc xe khách đi từ Tp Cần Thơ về Tp Hồ Chí Minh và

gặp xe tải sau khi nó đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn

xe tải 13 km.

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề:

Đổi đơn vị: 1 giờ 48 phút = 9 5 giờ

Sơ đồ hoá thông tin bài toán:

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

V (km/h) T(h) S(km)

Xe tải X 9 14 1 5 5   14 x 5

Xe khách Y 9 5 9 y 5

Quan hệ y x 13   14 9 x y 189 5 5  

Giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe tải (x > 0)

Gọi y (km/h) là vận tốc của xe khách (y > 13)

Thời gian xe tải đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 9 14 1 5 5   giờ

Quãng đường xe tải đi được từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là 14 x 5 (km)

Thời gian xe khách đi từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là 9 5 giờ

Quãng đường xe khách đi từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là 9 y 5

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

14 9 14 9 x y 189 x y 189 5 5 5 5 y x 13 x y 13

                  

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là x 36

y 49

   

(thỏa mãn điều kiện)

KL: Vận tốc của xe tải là: 36 (km/h)

Vận tốc của xe khách là: 49 (km/h).

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Ví dụ minh hoạ 2: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h

thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự

định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A.

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề: Trong đề này, chúng ta cần chú ý đến câu hỏi tính độ dài quãng đường và thời gian đi (thời

điểm xuất phát). Do đó, ta sẽ đặt ẩn là hai đại lượng này.

Dựa vào mối tương quan vận tốc, thời gian đi, ta sẽ suy ra các phương trình cần tìm.

Bảng phân tích tóm tắt:

V(km/h) T(h) S(km)

Dự định x y

Nếu xe chạy chậm 35 x 2    35 x 2 

Nếu xe chạy nhanh 50 x 1    50 x 1 

Giải:

Gọi y (km) là độ dài quãng đường AB (y > 0)

Gọi x (h) là thời gian đi từ A đến B theo dự định   x 1 

Nếu xe chạy với vận tốc 35 (km/h), thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

   35 x 2 y 1  

Nếu xe chạy với vận tốc 50 (km/h), thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

   50 x 1 y 2  

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

   

35 x 2 y 35x 70 y y 35x 70

50x 50 y y 50x 50 50 x 1 y

                       

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là y 350

x 8

   

(thoả mãn điều kiện)

KL: Quãng đường AB dài: 350 (km)

Thời điểm ô tô xuất phát tại A là: 12 - 8 = 4 giờ sáng.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng chuyển động ngược chiều

Bài 1: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và

gặp nhau ở một điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng …