Chuyên đề giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

PHẦN I. TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:   

1 1 1

2 2 2

1

2

a x b y c I a x b y c

     

a. Phương pháp thế:

 Bước 1: Từ một phương trình của hệ, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc y theo x).

 Bước 2: Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào phương trình còn lại để được phương trình bậc nhất một ẩn. Giải phương trình bậc nhất vừa tìm được.

 Bước 3: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại.

b. Phương pháp cộng đại số:

 Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y).

 Bước 2:

- Xem xét hệ số của ẩn muốn khử.

- Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.

- Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ về theo vế của hệ.

- Nếu các hệ số đó không bằng nhau thì ta nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau (đồng nhất hệ số). Rồi thực hiện các bước ở trên.

- Ta được một phương trình mới, trong đó ẩn muốn khử có hệ số bằng 0.

 Bước 3: Giải hệ phương trình gồm một phương trình mới (một ẩn) và một phương trình đã cho.

Ta suy ra nghiệm của hệ

* Đối với một số bài toán ta có thể kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình đơn giản hơn với ẩn mới.

Sau khi tìm được nghiệm của hệ phương trình mới, ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình ban đầu.

* Sử dụng máy tính CASIO/VINACAL:

 Nhấn Mode, chọn mục EQN, chọn số tương ứng với mục: anX+bnY=cn

 Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự  

1 1 1

2 2 2

1

2

a x b y c

a x b y c

     

 Ta nhập số liệu tương ứng:

Hàng thứ nhất: 1 1 1 ; ; a b c    và hàng thứ hai: 2 2 2 ; ; a b c   

 Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình.

Các em có thể sử dụng máy tính casio để tính ra nghiệm đúng.

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Ví dụ minh họa 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a. 2 1

2 5 7

x y

x y

      

b.       

3 2 9

2 1

x y x y

x y x y

         

Hướng dẫn giải:

a. Biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương:

HTP:  

2 1 2 1 2 1 2 2 1 5 7 2 5 7 9 2 7

x y x y x y y y x y y

                           

  2. 1 1 2 1 1

9 9 1 1

x x y x

y y y

                       

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là   1; 1  .

b. Hệ phương trình       

3 2 9

2 1

x y x y

x y x y

         

Cách 1: Thu gọn vế trái của mỗi phương trình trong hệ, biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương.

HPT:       

3 2 9 3 3 2 2 9

2 2 1 2 1

x y x y x y x y

                       

 

5 9 3 3 2 2 9 5 9 3 5 9 1 2 2 1 3 1

x y x y x y x y y y x y x y x y

                               

5 9 1 14 28 2 x y x y y              

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm   1;2  .

Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: đặt ; u x y v x y     , ta có hệ phương trình:

      

3 2 9 3 2 9 2 1 2 1

x y x y u v u v x y x y

                    

  3 2 2 1 9 7 7 1

2 1 3 2 1

u u u u

v u v v u

                        

Với 1

3

u

v

   

, ta có hệ phương trình   2 3 2 1 2 4 1

3 3 2 3

y x y y x

x y x y y x y

                             

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm   1;2  .

Dạng 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Ví dụ minh họa 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: