Chuyên đề căn bậc ba

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC BA

A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

a) Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a, kí hiệu 3 , a là số x sao cho 3x a 

 Cho  

3 3 3 3 , a a x x a a      

 Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.

 Nếu 0 a  thì 3 0 a 

 Nếu 0 a  thì 3 0 a 

 Nếu 0 a  thì 3 0 a 

b) Tính chất

 3 3 0 a a b   

 3 3 3. ab a b 

  

3 3

3 0 a a b b b  

c) Các phép biến đổi căn bậc ba

 3 3 3 A B A B 

 3 3 3 A B A B 

   3 2 3 1 0 A AB B B B  

  

3 3 2 2 3

3 3 1 A AB B A B A B A B      

Mở rộng: Căn bậc n

a) Định nghĩa: Cho a và ; 2. n n    Căn bậc n của a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.

 Trường hợp n lẻ   2 1; n k k   

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Mỗi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2 1 2 1 k k a x x a     

Nếu 0 a  thì 2 1 0 k a  

Nếu 0 a  thì 2 1 0 k a  

Nếu 0 a  thì 2 1 0 k a  

 Trường hợp 11 chẵn   2 ; n k k  

Mỗi số thực 0 a  đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc

2k số học của a), căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k a 

2 0 k a x x    và 2k x a 

2 0 k a x x     và 2k x a 

Mọi số 0 a  đều không có căn bậc chẵn.

b) Tính chất của căn bậc n   ; 2. n n   

  * 1 0, , n nk m mk A A A k m   

  2 0, , 2 m n mn A A A m m     

  . 3 0, 0 n n n AB A B A B   

  4 0, 0

n n n A A A B B B   

    * 5 0, m n m n A A A m   

Ứng dụng:

- Công thức (1 ) dùng để hạ bậc một căn thức hoặc quy đồng chỉ số các căn thức.

- Công thức (2) dùng để khai căn một căn thức.

- Công thức (3) dùng để khai căn một tích, nhân các căn thức cùng chỉ số, để đưa một thừa số ra ngoài

hoặc vào trong dấu căn.

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

- Công thức (4) dùng để khai căn một thương và chia các căn thức cùng chỉ số, để khử mẫu của biểu thức

lấy căn.

- Công thức (5) dùng để nâng một căn thức lên một lũy thừa.

B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA

I.Dạng toán cơ bản

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a) 3 3 54 : 2 b) 3 3 8 37. 8 37  

Lời giải

a) 3 3 3 3 54 : 2 54: 2 27 3   

b)    3 3 3 8 37. 8 37 8 37 8 37     

3 3 64 37 27 3    

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

a) b)

Lời giải

a)

b)

Ví dụ 3: Rút gọn

3 3 3 1 8 2 27 125 5    3 3 3 3 125 64 5 a a a   

3 3 3 1 8 2 27 125 5   

 

3 3 3 3 3 3 1 2 2 3 5 5    

  1 2 2. 3 .5 5    

2 6 1 7   

3 3 3 3 125 64 5 a a a   

    3 3 3 3 5 4 5 a a a    

5 4 5 a a a   

4a 

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

a) 3 3 26 15 3 26 15 3 A     b) 3 3 84 84 1 1 9 9 B    

Lời giải

a) Ta có: 3 3 8 12 3 18 3 3 8 12 3 18 3 3 A        

   

3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 A         

b) 3 3 84 84 1 1 9 9 B    

Áp dụng hằng đẳng thức     3 3 3 3 a b a b ab a b      ta có:

3 3

3 3

84 84 84 84 1 1 3. 1 1 . 3 3 9 9

84 2 3 . 1 2 81

B B

B B B

                

    

   3 2 2 0 1 2 0 B B B B B         mà 2 2 0 B B   

Suy ra 1. B 

II.Dạng bài nâng cao phát triển tư duy

Ví dụ 1: Hãy tính giá trị biểu thức:   2020 3 2 3 1 , Q x x    biết:   3

3 3

26 15 3. 2 3

9 80 9 80 x      

Lời giải

Xét 3 3 9 80 9 80 a    

  

  

3 3

3 3

3 3

3 2

9 80 9 80 3. 9 80 9 80 .

18 3. 81 80.

18 3 3 18 0

27 3 9 0 3 3 6 0

a a

a a

a a a a

a a a a a

       

   

      

         

Ta có

2 2 3 15 3 6 0 2 4 a a a            

nên 3 0 3 a a   