Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Phạm Huy Huân

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2019 - 2020

Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258

1

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

+ Bước 1: Lập hệ phương trình.

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn,

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết,

- Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

+ Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa tìm được.

+ Bước 3: Đối chiếu điều kiện và trả lời

Dạng 1: Bài toán về quan hệ giữa các số

Phương pháp

Kiến thức về bài toán về quan hệ giữa các số:

+ Biểu diễn số có hai chữ số: ab a b 10   , trong đó a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị, a b a b 0 9;0 9; ;        .

+ Tổng hai số x; y là: x+y

+ Tổng bình phương hai số x; y là:  2 2 x y

+ Tổng nghịch đảo hai số x; y là:  1 1 x y

Ví dụ 1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 19 và tổng bình phương của hai số bằng 185.

Lời giải

Gọi số thứ nhất cần tìm là , 19 x x  , khi đó số thứ hai là 19 x  .

Vì tổng bình phương của hai số bằng 185 nên ta có phương trình  

2 2 2 19 185 19 88 0 x x x x       

Ta có          2 19 4.88 9 0 9 3 ,

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là 1 2 19 3 19 3 11; 8 2 2 x x      

Với   1 2 11; 8 x x (thỏa mãn điều kiện của ẩn)

Vậy hai số cần tìm là 8 và 11.

Ví dụ 2. [TS10 Cao Bằng, 2018-2019] Trong lúc học nhóm, bạn Nam yêu cầu bạn Linh và bạn Mai mỗi người chọn một số tự nhiên sao cho hai số này hơn kém nhau là 6 và tích của chúng phải bằng 280 . Vậy hai bạn Linh và Mai phải chọn những số nào?

Lời giải

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2019 - 2020

Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 2

Giả sử số bạn Linh chọn là số lớn hơn. Gọi số bạn Linh chọn là   ,6 280 . x x x    

Khi đó số bạn Mai chọn là 6. x 

Vì tích của chúng phải bằng 280 , Nên ta có phương trình:

   2 20 ( 6) 280 6 280 0 20 14 0 14 x x x x x x x x

              Với 14 x  không thỏa mãn điều kiện x, Suy ra 14 x  loại.

Với 14 x  không thỏa mãn điều kiện x, Suy ra 14 x  loại.

Với 20 x  thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy số bạn Linh chọn là 20, số bạn Mai chọn là 14 , hoặc số bạn Linh chọn là 14 và số bạn Mai chọn là 20.

Ví dụ 3. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị và khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị.

Lời giải

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là ab (  ,a b   0 9 a ,   0 9 b )

Ta có: ab a b 10  

Chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị nên ta có phương trình:

b a a b 5 5     (1)

Khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới là a b a b 1 100 10   

Số mới lớn hơn số đã cho là 280 đơn vị nên ta có phương trình: a b a b (100 10 ) (10 ) 280      (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

a b a b a a b a b a b 5 5 3 (100 10 ) (10 ) 280 90 270 8                    

(TMĐK)

Vậy số cần tìm là 38.

Ví dụ 4. [TS10 Bình Định, 2018-2019] Tìm một số có hai chữ số biết rằng hiệu của số ban đầu và số đảo ngược của nó bằng 18 (số đảo ngược của một số là số thu được bằng cách viết các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại) và tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618.

Lời giải

Gọi số cần tìm là ab ( , {1;2; ;9}, a b a b    ).

Khi đó số đảo ngược của nó là ba

Vì hiệu của số ban đầu và số đảo ngược của nó bằng 18, nên ta có:  18 1 ab ba  

Lại có tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618 do vậy ta có