Giải toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình

THCS.TOANMATH.com

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần).

+ Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập phương trình hoặc hệ phương trình.

+ Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập.

+ Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời.

CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

+ Quãng đường = Vận tốc . Thời gian.

+ Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được.

+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.

+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB.

+ Đối với Ca nô, tàu xuồng chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý:

Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô = Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.

Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô = Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước.

Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (vận tốc riêng của vật đó bằng 0).

THCS.TOANMATH.com

2. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.

Lời giải

Đổi 30 phút 1 2 = giờ.

Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, 0 x > ). Thời gian xe

đi từ A đến B là 24 x (giờ).

Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc 4 x + (km/h). Thời gian xe đi từ B về

A là 24 4 x + (giờ).

Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:

24 24 1 4 2 x x − = + . Giải phương trình:

24 24 1 4 2 x x − = +

2 12 4 192 0 16 x x x x =  ⇔ + − = ⇔= − 

.

Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12km/h.

Ví dụ 2: Trên quãng đường AB dài 210 m , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ B đi về A . Sau khi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.

(Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013)

Lời giải

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h). Điều kiện 0 x > .

THCS.TOANMATH.com

Gọi vận tốc ô tô là y (km/h). Điều kiện 0 y > .

Thời gian xe máy dự định đi từ A đến B là: 210 x giờ. Thời gian ô tô dự

định đi từ B đến A là: 210

y giờ.

Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến B là: 4x (km).

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến A là: 9 4 y

(km). Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

210 210 9 4 4 9 2 210 4

x y

x y

 − = −   + = 

.

⇔

9 9 210 210 7 4 4 7 4 4 4 4 9 9 4 210 4 210 4 4

x y x y x y x y

x y x y

 + +   − =  − =   ⇔     + = + =    

( )

( )

1

2

. Từ phương trình (1)

ta suy ra

9 9 4 4 7 9 4 3 4 4 0 4 4 4

x y x y y x x y x y x y

+ + − = ⇔ − = ⇔ = . Thay vào

phương trình (2) ta thu được: 12 9 210 40 4 4 y y y + = ⇔ = , 30 x = .

Vậy vận tốc xe máy là 30 km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.

Ví dụ 3: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến

B. Đi được 3 4 xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc

kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng

ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên 3 4 quãng đường đầu không đổi và vận tốc