Chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn và bài toán liên quan

3

CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Các công thức biến đổi căn thức

1.

≥  = = − 

2 nÕu A 0

nÕu A < 0

A A A A

2. . AB A B = (Với 0; 0 ≥ ≥ A B )

3. = A A B B

(Với 0; 0 ≥ > A B )

4. 2 A B A B = (Với 0 ≥ B )

5. 2 A B A B = (Với 0; 0 ≥ ≥ A B )

6. 2 A B A B = − (Với 0; 0 < ≥ A B )

7. 1 = A AB B B (Với 0; 0 ≥ > A B )

8. = A A B B B (Với 0 > B )

9 ( )

2 ± = − ±

C A B C A B A B

(Với 2 0;A B ≥ ≠ A )

10 ( ) ± = − ±

C A B C A B A B

(Với 0; 0;A B ≥ ≥ ≠ A B )

11 ( )

3 3 3 3 = = A A A

Cách tìm điều kiện trong bài toán chứa căn thức

BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ

1. A ĐKXĐ: 0 ≥ A Ví dụ: 2018 − x ĐKXĐ: 2018 ≥ x

2. A B

ĐKXĐ: 0 ≠ B Ví dụ: 4 7 + − x x

ĐKXĐ: 7 ≠ x

3. A B ĐKXĐ: 0 > B Ví dụ: 1 3 + − x x ĐKXĐ: 3 > x

4. A B

ĐKXĐ: 0; 0 ≥ > A B Ví dụ:

3 − x x ĐKXĐ:

0 3 3

≥  ⇔ > > 

x x x

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

5. A B

ĐKXĐ:

0

0

0

0

 ≤    <    ≥   >  

A

B

A

B

Ví dụ: 1 2 + + x x ĐKXĐ:

1 0

2 0 2

1 1 0

2 0

 + ≤    + < < −    ⇔  ≥ + ≥   + >  

x

x x

x x

x

6.

Cho a > 0 ta có:

2 > > ⇔ < − 

x a x a x a

Ví dụ:

2 1 > x

> ⇔ < − 

x a

x a

7.

Cho a > 0 ta có:

2 < ⇔− < < x a a x a Ví dụ:

2 4 2 2 < ⇔−< < x x

Dạng 1: Các bài toán biến đổi căn thức thường gặp

Thí dụ 1. (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh)

Tính giá trị của biểu thức: A 6 2 5 14 6 5 = − + −

Lời giải

Ta có: ( ) ( )

2 2 A 6 2 5 14 6 5 5 1 3 5 5 1 3 5 2 = − + − = − + − = −+ − =

Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011)

Cho ( )

3 3 3 2 1 E 2 1 3 − = + . Chứng minh rằng E là số nguyên

Lời giải

Ta có:

( ) ( ) ( )

( )( )

3 3 3 3 3 3 2 3

3 3 3 3 3

2 1 2 1 E 2 1 . 2 1 3 2 2 1 3 3

1 2 4 2 1 2 1 1

− −   = + = + + +    

= + + − = − =

= 2 2 (8 3 7) (8 3 7) − − +

Vậy E là số nguyên

Thí dụ 3. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011)

Rút gọn:

4 4

4

8 2 1 8 2 1 A 8 2 1

+ − − − − = − +

.

Lời giải

Đặt T A M = . Ta có T > 0 nên 2 T T =

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

5

Xét

2 4 4 4 4 T 8 2 1 2. 8 2 1. 8 2 1 8 2 1     = + − − + − − − + − −        

( ) 4

4

4

4

2 8 2 8 2 1

2 8 2 2 1

2 8 2 1

T 2 8 2 1

A 2

= − − −

= − +

  = − +    

  ⇒ = − +    

⇒ =

Thí dụ 4. (Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013)

Rút gọn biểu thức: A= 2 10 30 2 2 6 2 : 2 10 2 2 3 1

+ − −

− −

Lời giải

Ta có: 2 10 30 2 2 6 2 : 2 10 2 2 3 1

+ − −

− −

=

2 2( 5 1) 6( 5 1) 3 1 2 3 3 1 4 2 3 3 1 3 1 3 1 1 . . . . 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2( 5 1)

− + − − + − + − + − = = = = −

Thí dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)

Tính giá trị của biểu thức N = 4 3 4 3 27 10 2 4 13

+ + − + − +

Lời giải

Ta có: N= 2( 4 3 4 3 ) 25 10 2 2 8 2 13

+ + − + − + +

= 2 2( 4 3 4 3 ) (5 2) (4 3) 2 4 3 4 3 (4 3)

+ + − + − + + + − + +

2

2

2( 4 3 4 3 ) 2( 4 3 4 3 ) (5 2) 5 2 4 3 4 3 ( 4 3 4 3 )

2 5 2 5

+ + − + + − = + − = + − + + − + + −

= + − =

Thí dụ 6. (Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012)

Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:A = 2 3 4 15 10

23 3 5

− + − +

−

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC