Rút gọn biểu thức đại số và các bài toán liên quan

Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê

Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 1

RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

A-LÝ THUYẾT

1. Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ

a. Tính chất về phân số ( phân thức): . ( 0, 0) . A M A M B B M B   

b. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

 A2 - B2 = (A - B)(A + B)

 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

 A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)

 A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

2. Các kiến thức về căn bậc hai

 Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a

 Để A có nghĩa 0 A  

 2 A A 

 . AB A B  ( với 0; 0) A B  

 A A B B  ( với 0; 0) A B  

 2 A B A B  ( với 0) B 

Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê

Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 2

 2 A B A B  ( với 0; 0) A B  

 2 A B A B  ( với 0; 0) A B  



A AB B B  ( với 0; 0) AB B  

 A A B

B B  ( với 0) B 

 2 ( ) C C A B A B A B   

 ( với 2 0; A B ) A  

 ( ) C C A B A B A B     ( với 0; 0 A B   ) và A B 

3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ

LIÊN QUAN

Xét biểu thức A với biến số x

Dạng 1. Rút gọn biểu thức

- Ngoài việc rèn kỹ năng thực hiện các phép tính trong bài toán rút gọn. Học sinh hay quên

hoặc thiếu điều kiện xác định của biến x ( ĐKXĐ gồm điều kiện để các căn thức bậc hai có

nghĩa, các mẫu thức khác 0 và biểu thức chia (nếu có) khác 0)

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = m ( với m là số hoặc biểu thức chứa x)

- Nếu m là biểu thức chứa căn x m  ( bằng số), trước tiên phải rút gọn; nếu m là biểu thức

có dạng căn trong căn thường đưa về hằng đẳng thức để rút gọn; nếu m là biểu thức ta

phải đi giải phương trình tìm x.

- Trước khi tính giá trị của biểu thức A, học sinh thường quên xét xem m có thỏa mãn

ĐKXĐ hay không rồi mới được thay vào biểu thức dã rút gọn để tính.

Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê

Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 3

Ví dụ minh họa : Cho

1 x A

x 



, điều kiện 0, 1. x x  

a) Tính giá trị của biểu thức A khi 9. x 

b) Tính giá trị của biểu thức A khi 3 2 2. x  

c) Tính giá trị của biểu thức A biết x thỏa mãn phương trình 2 5 4 0 x x    .

Hướng dẫn giải

a) Có 3 3 9 3 3 1 2 x x A       

b) Có  

2 3 2 2 2 1 x       

2 2 1 2 1 2 1 x       2 1 2 2 2 2 A     

c) Có 2 1 5 4 0 4 x x x x

       . Kết hợp điều kiên: 0, 1. x x  

 1 x (loại) và 4 x  (thỏa mãn)

Với 4 x  2 2 2 2 1 x A       .

Dạng 3. Tìm giá trị của biến x để A k  ( với k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x)

- Thực chất đây là việc giải phương trình.

- Học sinh thường quên khi tìm được giá trị của x không xét xem giá trị x dó có thỏa mãn

ĐKXĐ của A hay không.

Ví dụ minh họa: Cho 1 2 x A x

 



, điều kiện xác định 0, 4 x x   .

a) Tìm x biết 2. A 

b) Tìm x biết 4 1 4 x A   .

Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê

Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 4

Hướng dẫn giải

a) Có 2 A   1 2 1 2 4 3 2 x x x x x         (vô lí)

không tồn tại x để 2. A 

b) Có 4 1 1 4 1 4 4 4 9 2 4 4 2 x x x A x x x x            

   4 5 6 0 2 4 3 0 x x x x        

4 2

9 3

16 4

x x

x x

             

Kết hợp điều kiện 0, 4 x x    4 x  ( loại) và 9 16 x  ( thỏa mãn)

Vậy 9 16 x  thì 4 1 4 x A   .

Dạng 4. Tìm giá trị của biến x để A k  ( hoặc A k  , A k  , A k  ,…) trong đó k là hằng số

hoặc là biểu thức chứa x.

- Thực chất đây là việc giải bất phương trình.

- Học sinh thường mắc sai lầm khi giải bất phương trình thường dùng tích chéo hoặc sử

dụng một số phép biến đổi sai.

Ví dụ minh họa: Cho 2 3 x A x

 



, điều kiện xác định 0, 9 x x   .

a) Tìm x để 1 A .

b) Tìm x để 2 A  .