Chuyên đề cực trị Hình học 9

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC

CỰC TRỊ HÌNH HỌC

A- Phương pháp giải bài toán cực trị hình học.

1- Dạng chung của bài toán cực trị hình học :

“ Trong tất cả các hình có chung một tính chất , tìm những hình mà một đại lượng nào đó ( độ dài đoạn thẳng , số đo góc, số đo diện tích …) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng :

a) Bài toán về dựng hình . Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn , xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.

b) Bài toán vể chứng minh . Ví dụ : Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.

c) Bài toán về tính toán. Ví dụ : Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h , Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.

2- Hướng giải bài toán cực trị hình học :

a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được :

+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m ( m là hằng số ) +Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được :

+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m ( m là hằng số ) +Xác định vị trí của hình H trên miền D để f = m

3 - Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học .

+ Cách1 :Trong các hình có tính chất của đề bài,chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn ( hoặc lớn hơn ) giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra.

+ Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng này đạt cực trị bởi đại lượng khác đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi mà đề bài yêu cầu.

1

A

B H C h.4

a

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn( P không trùng với O).Xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất. Giải :

+Cách 1 : Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và không trùng với AB ( h.1).

Kẻ OH  CD . OHP vuông tại H  OH < OP  CD > AB Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất .

+Cách 2 : Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH  AB Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm: AB nhỏ nhất  OH lớn nhất Ta lại có OH ≤ OP OH = OP  H ≡ P Do đó maxOH = OP Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.

B-Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học.

1- Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc , đường xiên , hình chiếu . a-Kiến thức cần nhớ:

a1) ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng)  AB ≤ BC . Dấu “=” xảy ra  A ≡ C . ( h.3 )

a2) ( h.4 ) + AH  a  AH ≤ AB . Dấu “=” xảy ra  B ≡ H . + AB < AC  HB < HC

a3)( h.5 ) A,K a; B, H b; a // b ; HK  a  HK ≤ AB Dấu “=” xảy ra  A ≡ K và B ≡ H .

2

H

O C

D

A B P

h .1

H

O A

B P

h .2

A

B

C h.3

A

B H

K a

b

h.5

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC

b-Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm ,hình nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích lớn nhất đó.

Giải :

Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6) Gọi O là giao điểm hai đường chéo . Kẻ BH  AC . Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2  BH ≡ BO  H ≡ O  BD AC Vậy max SABCD = 24 cm2 . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2.

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất .

Giải : HAE = EBF = FCG = GHD  HE = EF = FG = GH  EFGH là hình thoi .

· · AHE BEF  · · 0 AHE AEH 90    · · 0 BEF AEH 90    · 0 HEF 90   EFGH là hình vuông Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH.

HOE vuông cân : HE2 = 2OE2  …