Đề học sinh giỏi cấp xã Toán 8 năm 2025 - 2026 xã Đức Thọ - Hà Tĩnh

ỦY BAN NHÂN DÂN

XÃ ĐỨC THỌ

(Đề thi có 16 câu, gồm 2 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025 – 2026.

Môn: Toán – Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1. Cho 𝑥𝑥+ 1

𝑥𝑥= 3. Tính giá trị của biểu thức 𝐴𝐴= 𝑥𝑥2 + 1

𝑥𝑥2.

Câu 2. Kết quả phân tích đa thức (𝑥𝑥2 −4𝑥𝑥)2 + 8(𝑥𝑥2 −4𝑥𝑥) + 16 thành nhân tử? Câu 3. Tìm các giá trị nguyên của 𝑥𝑥 để 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥+ 2 chia hết cho 𝑥𝑥+ 2. Câu 4. Cho đường thẳng 𝑦𝑦= 𝑚𝑚𝑚𝑚−2𝑛𝑛+ 1(𝑑𝑑), 𝑚𝑚≠0 với 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 là một tham số. Tìm giá trị của 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 để đường thẳng (𝑑𝑑) song song với đường thẳng 𝑦𝑦= 2𝑥𝑥+ 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −3. Câu 5. Cho 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 là ba số thực thỏa mãn 𝑎𝑎+ 𝑏𝑏+ 𝑐𝑐= 0 và 𝑎𝑎2 = 2(𝑎𝑎+ 𝑐𝑐+ 1)(𝑎𝑎+ 𝑏𝑏− 1). Tính giá trị biểu thức 𝐴𝐴= 𝑎𝑎2025 + 𝑏𝑏2026 + 𝑐𝑐2027.

Câu 6. Tính giá trị biểu thức 𝑃𝑃= 𝑥𝑥4+3𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+11

𝑥𝑥5−4𝑥𝑥3−15𝑥𝑥+9 với

𝑥𝑥

𝑥𝑥2+𝑥𝑥+1 = 1

4. Câu 7. Xác định các hệ số a và b để đa thức 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 −2𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 + ax + 𝑏𝑏 là bình

phương của một đa thức.

Câu 8. Trong kỳ thi Olympic Toán lớp 8, hai bạn Nam Khánh và Tuấn Đạt đều làm bài thi rất tốt. Để tự thưởng cho bản thân khi kì thi vừa kết thúc, hai bạn vào khu vui chơi Panda để mua cho mình một người một cốc trà sữa trong bốn loại trà sữa được các bạn trẻ ưa chuộng là trà sữa trân châu đường đen, trà sữa matcha, trà sữa bạc hà và trà sữa việt quất. Tính xác suất của biến cố 𝐸𝐸: “Hai bạn chọn mua cùng một loại trà sữa”. Câu 9. Cho tam giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Điểm 𝑀𝑀 thuộc cạnh 𝐴𝐴𝐴𝐴 sao cho 𝐴𝐴𝐴𝐴= 4𝐴𝐴𝐴𝐴. Gọi 𝑁𝑁 là điểm thuộc cạnh 𝐵𝐵𝐵𝐵 sao cho diện tích tam giác 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 bằng diện tích tứ giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Tính

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐵𝐵𝐵𝐵.

Câu 10. Cho tứ giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 có 𝐶𝐶̂ + 𝐷𝐷෡= 1200. Giả sử đường phân giác trong của 𝐴𝐴̂ và đường phân giác trong của góc 𝐵𝐵෠ cắt nhau tại 𝑀𝑀. Tính số đo góc 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣. Câu 11. Cho hai hình vuông 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 như hình dưới với 𝐴𝐴𝐴𝐴= 4cm, 𝐸𝐸 là tâm của hình vuông 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Tính diện tích phần chồng nhau của hai hình vuông (tứ giác 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼).

Câu 12. An đưa cho Bình một viên xúc xắc hình lập phương và đố bạn tìm được độ dài cạnh của nó mà không dùng thước đo trực tiếp. Để giúp Bình, An đã làm như sau: Lấy một chiếc ly lăng trụ tứ giác đều có diện tích đáy là 250cm2 rồi thả viên xúc xắc vào trong. Sau đó, An đổ nước vào ly cho đến khi viên xúc xắc chìm hoàn toàn. Khi dùng đũa gắp viên xúc xắc ra, An quan sát thấy mực nước trong ly hạ xuống 0,5cm. Giả sử lượng nước dính vào xúc xắc và đũa không đáng kể, em hãy tính độ dài cạnh của viên xúc xắc đó.

ĐỀ CHÍNH THỨC

II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Bài 13.

a) Rút gọn biểu thức 𝐴𝐴= ቀ 𝑥𝑥+2

𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+1 − 𝑥𝑥−2

𝑥𝑥2−1ቁ: 2𝑥𝑥2+𝑥𝑥

𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−𝑥𝑥−1, với 𝑥𝑥≠0; 𝑥𝑥≠±1; 𝑥𝑥≠ −1

2 . b) Cho ba số thực 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 thỏa mãn 𝑎𝑎−𝑏𝑏= 1 và 𝑏𝑏−𝑐𝑐= 2. Tính giá trị của biểu thức 𝐵𝐵= 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 −𝑎𝑎𝑎𝑎−𝑏𝑏𝑏𝑏−𝑐𝑐𝑐𝑐 Bài 14. a) Tìm 𝑥𝑥, biết 𝑥𝑥3 + (𝑥𝑥−1)3 = (2𝑥𝑥−1)3 b) Cho 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 là các số nguyên dương thỏa mãn

1

𝑎𝑎+ 3

𝑏𝑏+2 = 2025

𝑐𝑐+2026. Chứng minh rằng

tích 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 luôn biểu diễn được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

Bài 15. Cho tam giác vuông 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴൫𝐵𝐵෠= 900, 𝐵𝐵𝐵𝐵< 𝐵𝐵𝐵𝐵൯, trung tuyến 𝐵𝐵𝐵𝐵. Gọi 𝑃𝑃, 𝑄𝑄 lần lượt là trực tâm các tam giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵.

a) Chứng minh rằng 𝐴𝐴𝐴𝐴//𝐶𝐶𝐶𝐶 b) Chứng minh rằng 𝑃𝑃𝑃𝑃= 𝑃𝑃𝑃𝑃, 𝑄𝑄𝑄𝑄= 𝑄𝑄𝑄𝑄 c) Giả sử 𝐴𝐴𝐴𝐴 và 𝐶𝐶𝐶𝐶 cắt nhau tại 𝐾𝐾. Chứng minh rằng 𝐵𝐵𝐵𝐵⊥𝐵𝐵𝐵𝐵. Bài 16. Trên một mảnh đất hình chữ nhật 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 có diện tích 300 𝑚𝑚2, Bác An lấy một phần đất để trồng hoa. Biết phần đất trồng hoa là hình chữ nhật có hai đỉnh đối diện là 𝐴𝐴 và 𝐻𝐻, với 𝐻𝐻 là điểm thuộc đường chéo 𝐵𝐵𝐵𝐵. Hỏi số tiền lớn nhất mà Bác An cần dùng để trồng hoa là bao nhiêu? Biết rằng chi phí trồng hoa là 40000 đồng/𝑚𝑚2.

−−−Hết−−− Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.