Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2025 - 2026 xã Thiệu Toán - Thanh Hóa

1

ỦY BAN NHÂN DÂN XÃ THIỆU TOÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025- 2026

Môn thi: Toán 8 Ngày thi: 21/3/2026

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm 09 câu, 01 trang) Câu 1: (2,0đ). Rút gọn biểu thức:

A = ቂ (𝑎𝑎−1)2

3𝑎𝑎+(𝑎𝑎−1)2 − 1−2𝑎𝑎2+4𝑎𝑎

𝑎𝑎3−1 + 1

𝑎𝑎−1ቃ: 𝑎𝑎3+4𝑎𝑎

4𝑎𝑎2 với a ≠0; a ≠1

Câu 2: (2,0đ). Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời 1

𝑥𝑥+ 1

𝑦𝑦+ 1

𝑧𝑧= 2 và 2

𝑥𝑥𝑥𝑥= 1+4𝑧𝑧2

𝑧𝑧2 .

Tính giá trị biểu thức: B = (2𝑥𝑥+ 𝑦𝑦+ 𝑧𝑧)2026 Câu 3: (2,0 đ). Tìm các số x, y thỏa mãn: 2 2 3 4 20 2 x y xy + = − và ( )( ) 2 2 4 5 20 1 x y x y − + − = .

Câu 4: (2,0đ). Một hộp chứa 17 quả cầu được đánh số khác nhau bằng các số tự nhiên từ 1 đến 17. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất của biến cố : “Tổng 3 số trên 3 quả cầu được lấy ra là một số chẵn”. Câu 5: (2,0đ). Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (2y – x2)(2y + x2) = x(x4 +1) + 4y Câu 6: (1,5đ). Bác Hoàng gửi vào ngân hàng 300 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất 6% mỗi năm (tức là nếu đến hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn kì kế tiếp). Tính số tiền bác Hoàng nhận được sau 3 năm (cả gốc và lãi). Câu 7: (1,5đ). Trong hình vẽ bên, khi bạn Việt đứng ở vị trí B , Việt thấy bức tường MN vừa che khuất một cây xanh phía sau tường. Biết khoảng cách từ mắt Việt đến mặt đất là 1,5 AB m = , chiều cao bức tường là 2,5 , MN m = khoảng cách từ Việt đến bức tường là

0,5 BN m = và khoảng cách từ bức tường đến cây xanh là 2,5 NC m = . Tính chiều cao của cây xanh phía sau bức tường ? Câu 8 : (5,5đ). 1. Cho tam giác ABC ∆ vuông tại C , đường cao CH . Gọi E , F lần lượt là giao các đường phân giác của các tam giác ACH , BCH . Gọi M là giao điểm của BF và CE , N là giao điểm của AE và CF . Đường thẳng EF lần lượt cắt AC , BC tại P , K . a. Chứng minh MCF ∆ vuông cân và . . CM CE CN CF = b. Tam giác ABC thoả mãn điều kiện gì để 2. ACB CPK S S = (Ký hiệu , ACB CPK S S là diện tích của các tam giác ABC và CPK ) 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, hai đường phân giác trong của tam giác là , BD CE cắt

nhau tại O. Chứng minh:

2 2

2 2 4 BD CE BO CO + ≥.

Câu 9: (1,5đ). Cho tập hợp { } 201; 203;...; 2021; 2023 A = gồm 912 số tự nhiên lẻ. Cần chọn ra ít nhất bao nhiêu số từ tập hợp A sao cho trong các số được chọn luôn tồn tại hai số có tổng bằng 2288 ?

----------------- HẾT --------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu NỘI DUNG Điểm

Câu 1

(2,0 điểm)

Rút gọn biểu thức:

A =ቂ (𝑎𝑎−1)2

3𝑎𝑎+(𝑎𝑎−1)2 − 1−2𝑎𝑎2+4𝑎𝑎

𝑎𝑎3−1 + 1

𝑎𝑎−1ቃ: 𝑎𝑎3+4𝑎𝑎

4𝑎𝑎2 với a ≠0; a ≠1

2

ĐKXĐ: a ≠0; a ≠1

A =ቂ (𝑎𝑎−1)2

3𝑎𝑎+(𝑎𝑎−1)2 − 1−2𝑎𝑎2+4𝑎𝑎

𝑎𝑎3−1 + 1

𝑎𝑎−1ቃ: 𝑎𝑎3+4𝑎𝑎

4𝑎𝑎2

= ቀ 𝑎𝑎3−3𝑎𝑎2+3𝑎𝑎−1

𝑎𝑎3−1 − 1−2𝑎𝑎2+4𝑎𝑎

𝑎𝑎3−1 + a2+a+1

𝑎𝑎3−1 ቁ. 4𝑎𝑎

𝑎𝑎2+4

=ቀ 𝑎𝑎3−1

𝑎𝑎3−1ቁ. 4𝑎𝑎

𝑎𝑎2+4 = 4𝑎𝑎

𝑎𝑎2+4

Vậy: A = 4𝑎𝑎

𝑎𝑎2+4 với a ≠0; a ≠1

0,5 0,5 0,5

0,5

Câu 2

(2,0 điểm)

Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời

1

𝑥𝑥+

1

𝑦𝑦+

1

𝑧𝑧= 2 và

2

𝑥𝑥𝑥𝑥=

1+4𝑧𝑧2

𝑧𝑧2 . Tính giá trị biểu thức: B = (2𝑥𝑥+ 𝑦𝑦+ 𝑧𝑧)2026

2,0

1 𝑥𝑥+ 1 𝑦𝑦+ 1 𝑧𝑧= 2 ⇒൬1 𝑥𝑥+ 1 𝑦𝑦+ 1 𝑧𝑧൰

2

= 4

Mặt khác: 2

𝑥𝑥𝑥𝑥= 1+4𝑧𝑧2

𝑧𝑧2 ⇒ 2

𝑥𝑥𝑥𝑥= 1

𝑧𝑧2 + 4 ⇒ 2

𝑥𝑥𝑥𝑥− 1

𝑧𝑧2 = 4

0.25

Suy ra: ቀ 1

𝑥𝑥+ 1

𝑦𝑦+ 1

𝑧𝑧ቁ

2

= 2

𝑥𝑥𝑥𝑥− 1

𝑧𝑧2

⇔ 1

𝑥𝑥2 + 1

𝑦𝑦2 + 1

𝑧𝑧2 + 2

𝑥𝑥𝑥𝑥+ 2

𝑦𝑦𝑦𝑦+ 2

𝑥𝑥𝑥𝑥= 2

𝑥𝑥𝑥𝑥− 1

𝑧𝑧2

⇔ 1

𝑥𝑥2 + 1

𝑦𝑦2 + 1

𝑧𝑧2 + 2

𝑦𝑦𝑦𝑦+ 2

𝑥𝑥𝑥𝑥+ 1

𝑧𝑧2 = 0

⇔ ቀ 1

𝑥𝑥+ 1

𝑧𝑧ቁ 2 +ቀ 1

𝑦𝑦+ 1

𝑧𝑧ቁ 2 =0

0,5

....Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ቀ 1

𝑥𝑥+ 1

𝑧𝑧ቁ

2

=ቀ 1

𝑦𝑦+ 1

𝑧𝑧ቁ

2

=0

⇔ 1

𝑥𝑥+ 1

𝑧𝑧 = 1

𝑦𝑦+ 1

𝑧𝑧= 0 ⇔ x= -z ; y = -z

0,5

Khi đó:

1

−𝑧𝑧+

1

−𝑧𝑧+

1

𝑧𝑧= 2 ⇒𝑧𝑧=

−1

2 ⇒ 𝑥𝑥=

1

2 ; 𝑦𝑦=

1

2 0,5

Do đó B = ቀ2. 1

2 + 1

2 − 1

2ቁ

2026

= 1 0,25

Câu 3

(2,0 điểm)

Tìm các số x, y thỏa mãn: 2 2 3 4 20 2 x y xy + = − ( ) 1

và ( )( ) 2 2 4 5 20 1 x y x y − + − = ( ) 2 2,0

Từ (1) suy ra: 2 2 3 4 2 20 x y xy + + = thay vào (2), thu gọn ta được:

( )( ) ( ) 3 2 2 2 1 hay 1 x y x y xy x y − + − = − =

Suy ra: 1 Do do: x = 1 + y x y − = , thay vào (1) ta được:

0,75