Tổng hợp 108 bài tập bất đẳng thức Toán THCS có lời giải chi tiết

Algebraic Inequalities

TỔNG HỢP 108 BẤT ĐẲNG THỨC THCS

Biên soạn LATEX

Lê Trọng Hiếu – T2K34

Nội dung

La Tuấn Khôi – T1K34

Lê Trọng Hiếu – T2K34

"Mathematics is the queen of sciences"

- Carl Friedrich Gauss -

Ngày 9 tháng 8 năm 2026

Lời nói đầu

Sau một quá trình ôn luyện và trúng tuyển vào trường THPT chuyên mà mình hằng mơ ước. Với tinh

thần mang tính chia sẻ, mình mong muốn đểlại những kiến thức, kinh nghiệm của bản thân đến với

các bạn đọc.

Với bản thân mình, chủđềmà mình cảm thấy hứng thú nhất trong suốt quá trình ôn thi chuyên

toán là bất đẳng thức. Đây là mảng toán mang những nét đặc trưng rất riêng mang một vẻđẹp kì diệu

mộc mạc và vô cùng quyến rũ. Bằng tất cảniềm yêu thích và sựtâm huyết, mình đã quyết định biên

soạn ra tài liệu "Tổng hợp 108 bất đẳng thức THCS".

Tài liệu được mình và bằng hữu La Tuấn Khôi sưu tầm và tổng hợp và chọn lọc các bài toán bất

đẳng thức từnhiều nguồn khác nhau. Vì vậy mình hi vọng rằng tài liệu này sẽlà một "trợthủ" hỗtrợ

bạn đọc trước kì thi HSG, chuyên toán đầy thửthách và với mong muốn lan tỏa tình yêu bất đẳng thức

đến cho các độc giả.

Đặc biệt con số108 bài toán được lựa chọn không chỉđơn thuần là một con sốbình thường. Nếu đểý kĩ

con số108 là 108 = 11 ·22 ·33 ngoài ra trong tâm linh, văn hóa 108 là một con sốcó nhiều ý nghĩa như sự

hài hòa hay 108 vịanh hùng lương sơn bạc, hay ta có sựtích 64 > 108 và còn nhiều câu chuyện khác nữa.

Mặc dù tài liệu này đã được mình biên soạn và chỉnh sửa rất kĩ càng và cẩn thận đểcó thểchỉn

chu và hoàn thiện nhất có thể. Nhưng tuy nhiên vẫn có thểcó nhiều sai sót trong quá trình biên tập.

Vì thếmình rất mong được sựgóp ý từcác độc giảthông qua inbox facebook https://www.facebook.

com/share/1B6qZqmEx2/. Mình xin trân trọng cảm ơn

Lâm Đồng, mùa thu năm 2026

Lê Trọng Hiếu

T2K34 – THĐ

Mục lục

1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 2

2 Chú ý khi sửdụng tài liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 3

3 Đềbài và lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 5

4 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 140

Một sốlưu ý khi đọc tài liệu

Trong các bài toán bất đẳng thức, nếu ký hiệu X được viết đơn lẻ(không ghi kèm chỉsốhoán vịhay

xoay vòng), quy ước mặc định được hiểu là tổng xoay vòng (Cyclic Sum) theo chu trình chuyển biến

a →b →c →a.

ˆ Bản chất: Giữnguyên dạng biểu thức đại diện đầu tiên, sau đó hoán đổi các biến theo một vòng

tròn. Sốlượng hạng tửsau khi khai triển bằng đúng sốlượng biến của bài toán.

ˆ Công thức tổng quát (với bộ3 biến a, b, c):

X f(a, b, c) = f(a, b, c) + f(b, c, a) + f(c, a, b)

ˆ Ví dụcụthể: X a = a + b + c X a2b = a2b + b2c + c2a

X a b + c = a b + c + b c + a + c a + b

- Lưu ý: Phân biệt với tổng hoán vịSymmetric Sum, ký hiệu là X

sym .

Tổng hoán vịsẽlấy tất cản! trường hợp thay đổi vịtrí của các biến cụthểlà

X

sym a2b = a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b

- Quy ước ký hiệu: Trong toàn bộtài liệu này, viết tắt B.C.S được dùng cho hai dạng bất đẳng

thức Bunhiacopxki (Cauchy – Schwarz):

ˆ Dạng tích:

(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)2 ≤(a2 1 + a2 2 + · · · + a2 n)(b2 1 + b2 2 + · · · + b2 n)

ˆ Dạng cộng mẫu:

a2 1 b1 + a2 2 b2 + · · · + a2 n bn ≥(a1 + a2 + · · · + an)2

b1 + b2 + · · · + bn (bi > 0)

- Ký hiệu: □ởcuối mỗi bài tập thểhiện lời giải (hoặc phép chứng minh) đã hoàn tất.