Đề thi vào 10 môn Toán An Giang 2023 có đáp án và lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH AN GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10

NĂM HỌC 2023 – 2024

MÔN: TOÁN Thời gian: 90 phút Câu 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) 2 2 4 2

  x x

b) 4 2 18 18 0    x x

c) 3 2 2 4 16       

x y x y

Câu 2: Cho hai hàm số 2 ( )   y f x x và 2 ( ) 3    y g x ax a với 0  a là tham số.

a) Vẽ đồ thị hàm số ( )  y f x trên hệ trục tọa độ Oxy)

b) Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

c) Gọi 1 2 ; y y là tung độ giao điểm của hai đồ thị. Tìm a để 1 2 28   y y .

Câu 3: Cho phương trình bậc hai 2 2 2 3 0     x mx m (m là tham số).

a) Giải phương trình khi 0,5  m .

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) tâm O đường kính BC,

đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt AC tại D.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABOD nội tiếp.

b) Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại điểm P, cho PB = BO =

2cm. Tính độ dài đoạn thẳng PA và số đo góc APC .

c) Chứng minh rằng

2

2  PB BA PC AC .

Câu 5: Cây bạch đàn mỗi năm cao thêm 1m, cây phượng mỗi năm cao thêm 50cm. Lúc mới

vào trường học, cây bạch đàn cao 1m và cây phượng cao 3m. Giả sử tốc độ tăng trưởng

chiều cao của hai loại cây không đổi qua các năm.

a) Viết hàm số biểu diễn chiều cao mỗi loại cây theo số năm tính từ lúc mới vào trường.

b) Sau bao nhiêu năm so với lúc mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng?

-----HẾT-----

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) Quy đồng, giải phương trình bậc nhất.

b) Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

c) Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

a) Ta có:

2 2 4 2

2 2 4

2 2 4 4 2 2 2

 

  

 

  

x x

x x

x

x

Vậy nghiệm của phương trình là 2  x .

b) 4 2 18 18 0    x x

Đặt 2 0   t x , phương trình trở thành:

   

2 2 2

2 18 81 0 2. .9 9 0

9 0 9

      

   

t t t t

t t tm

Với 2 9 9 3      t x x .

Vậy tập nghiệm của phương trình là   3  S .

c) Ta có: 3 2 2 3 2 4 16 2 4 16               

x y x y x y x y

 

 

2 3 2 3 2 2 3 4 16 4 6 4 16

2 3. 2 2 3 4 10 20 2 2

x y x y y y y y

x x y x y y y

                 

                     

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất     ; 4; 2   x y .

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y .

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

* Chú ý: vì đồ thị hàm số y 2( 0)   ax a luôn đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục

đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một số điểm bên phải trục Oy rồi

lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn.

Tính 2 4   b ac , chứng minh 0 

c) Sử dụng hệ thức Vi-ét

1 2

1 2

       

b x x a c x x a

.

Biến đổi yêu cầu đề bài cho.

Cách giải:

a) Ta có bảng giá trị giá trị sau:

=> Đồ thị là Parabol đi qua 5 điểm có tọa độ       2;4 ; 1;1 ; 0;0 ; 1;1 ; 2;4 .  

Đồ thị hàm số 2  y x có 1 0  a nên đồ thị là đường cong

parabol có bề lõm hướng lên trên, nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của

phương trình

2 2 2 2 3 3 0 (1)       x ax a x ax a

Phương trình (1) có  

2 2 2 2 2 3 4 0 .1. 9 4 5 0,        a a a a a a

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Hay đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

c) Gọi 1 2 ; x x là hoành độ giao điểm của hai đồ thị khi đó

1 2 28   y y 2 2 1 2 3 3 28      ax a ax a

 

2 1 2 3 2 28     a x x a (2)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có 1 2 3   x x a thay vào (2) ta được: