Đề cương ôn tập Giữa kì 1 Toán 12 trường THPT Đức Trọng (Lâm Đồng) năm 2025–2026

ĐỀ CƯƠNG GIỮA KÌ I - TOÁN 12- Năm học: 2025-2026

A.LÝ THUYẾT

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

➊. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử 𝐾𝐾 là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) là hàm số xác định trên 𝐾𝐾.

Hàm số 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) được gọi là đồng biến trên 𝐾𝐾 nếu ∀𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ∈𝐾𝐾, 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 ⇒𝑓𝑓(𝑥𝑥1) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥2).

Hàm số 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) được gọi là nghịch biến trên 𝐾𝐾 nếu ∀𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ∈𝐾𝐾, 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 ⇒𝑓𝑓(𝑥𝑥1) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥2). Chú ý

Nếu hàm số đồng biến trên 𝐾𝐾 thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải

Nếu hàm số nghịch biến trên 𝐾𝐾 thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải

a) Hàm số nghịch biến trên (𝑎𝑎; 𝑏𝑏). b) Hàm số đồng biến trên (a; b).

Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên 𝐾𝐾 còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập 𝐾𝐾 thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó. Định lí.

Cho hàm số 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm trên khoảng 𝐾𝐾.

● Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 với mọi 𝑥𝑥∈𝐾𝐾 thì hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đồng biến trên khoảng 𝐾𝐾. ● Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 với mọi 𝑥𝑥∈𝐾𝐾 thì hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) nghịch biến trên khoảng 𝐾𝐾. Chú ý.

Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng 𝐾𝐾.

Người ta chứng minh được rằng, nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 với mọi 𝑥𝑥∈𝐾𝐾 thì hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) không đổi trên khoảng 𝐾𝐾. b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số:

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) : ①. Tìm tập xác định của hàm số.

②. Tính đạo hàm 𝑓𝑓′(𝑥𝑥). Tìm các điểm 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑖𝑖= 1,2, … ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

③. Sắp xếp các điểm 𝑥𝑥𝑖𝑖 theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

④. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

➋. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

a) Khái niệm cực trị của hàm số:

Cho hàm số 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định và liên tục trên khoảng (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) ( 𝑎𝑎 có thể là −∞, 𝑏𝑏 có thể là +∞ ) và điểm 𝑥𝑥0 ∈(𝑎𝑎; 𝑏𝑏).

Nếu tồn tại số ℎ> 0 sao cho 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) với mọi 𝑥𝑥∈(𝑥𝑥0 −ℎ; 𝑥𝑥0 + ℎ) ⊂(𝑎𝑎; 𝑏𝑏) và 𝑥𝑥≠𝑥𝑥0 thì ta nói hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đạt cực đại tại 𝑥𝑥0.

Nếu tồn tại số ℎ> 0 sao cho 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) với mọi 𝑥𝑥∈(𝑥𝑥0 −ℎ; 𝑥𝑥0 + ℎ) ⊂(𝑎𝑎; 𝑏𝑏) và 𝑥𝑥≠𝑥𝑥0 thì ta nói hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đạt cực tiểu tại 𝑥𝑥0.

Chú ý

Nếu hàm số 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đạt cực đại tại 𝑥𝑥0 thì 𝑥𝑥0 được gọi là điểm cực đại của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Khi đó, 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) và kí hiệu là 𝑓𝑓𝐶𝐶𝐶𝐶 hay 𝑦𝑦𝐶𝐶⊖. Điểm 𝑀𝑀0൫𝑥𝑥0; 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)൯ được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Nếu hàm số 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đạt cực tiểu tại 𝑥𝑥0 thì 𝑥𝑥0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Khi đó, 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) và kí hiệu là 𝑓𝑓𝐶𝐶𝐶𝐶 hay 𝑦𝑦𝐶𝐶𝐶𝐶.

Điểm 𝑀𝑀0൫𝑥𝑥0; 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)൯ được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số. b) Cách tìm cực trị của hàm số:

Định lí.

Giả sử hàm số 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên khoảng (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) chứa điểm 𝑥𝑥0 và có đạo hàm trên các khoảng (𝑎𝑎; 𝑥𝑥0) và (𝑥𝑥0; 𝑏𝑏). Khi đó: a) Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 với mọi 𝑥𝑥∈(𝑎𝑎; 𝑥𝑥0) và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 với mọi 𝑥𝑥∈(𝑥𝑥0; 𝑏𝑏) thì 𝑥𝑥0 là một điểm cực tiểu của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

b) Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 với mọi 𝑥𝑥∈(𝑎𝑎; 𝑥𝑥0) và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 với mọi 𝑥𝑥∈(𝑥𝑥0; 𝑏𝑏) thì 𝑥𝑥0 là một điểm cực đại của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Chú ý:

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ➊. ĐịNH NGHÏA

Cho hàm số 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định trên tập 𝐷𝐷.