Đề học sinh giỏi lớp 11 môn Toán chuyên năm 2022 2023 sở GD ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm). Cho dãy ( ) nx xác định bởi 1 3 3 x = và

2 1 2, 1. n n x x n + = − ∀≥

Đặt 1

1 2 . .

n n n u x x x x

+ = …

a. Chứng minh rằng: dãy ( ) nx là dãy tăng, dãy ( ) nu là dãy giảm.

b. Tìm lim . nu

Bài 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm : f →   liên tục tại 0 biết ( ) 0 2023 f = và thỏa mãn

điều kiện ( ) ( ) ( ) 2 cos . f x f x x x = ∀∈

Bài 3 (4,0 điểm). Cho ( ) P x là đa thức bậc 2023 với các hệ số thực không âm. Giả sử , , a b c là

độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng các số ( ) ( ) ( ) 2023 2023 2023 , , P a P b P c

cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn.

Bài 4 (4,0 điểm). Cho đường tròn ( ) O và dây cung BC cố định trên ( ) O . Một điểm A thay đổi

trên ( ) O sao cho tam giác ABC nhọn và . AB BC > Các đường cao , , AD BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại . H Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AC và . BC Gọi Q là điểm đối xứng với B qua . O Đường thẳng QM cắt BC tại P và cắt ( ) O tại . R Đường tròn ngoại tiếp tam giác BRP cắt BQ tại .S

a. Chứng minh CH là trục đẳng phương của các đường tròn đường kính BM và . AN

b. Chứng minh các điểm , , S F R thẳng hàng và đường thẳng MF đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.

Bài 5 (4,0 điểm). Có ( ) 2 n n ≥ đội bóng tham gia một giải đấu bóng đá theo thể thức đá vòng tròn một lượt. Mỗi trận có kết quả là hòa hoặc phân thắng thua. Nếu kết quả hoà thì mỗi đội đều được 1 điểm. Nếu kết quả phân thắng thua thì đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm. Gọi

h là hiệu số điểm của đội đứng đầu bảng và đội đứng cuối bảng. Nếu chỉ xét các tình huống sau khi giải đấu kết thúc không có hai đội nào bằng điểm nhau thì giá trị nhỏ nhất có thể của h là bao nhiêu trong các trường hợp:

a. Số đội tham dự là 3. n =

b. Số đội tham dự là 42. n =

---------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………….…............. Số báo danh:…………….

ĐỀ CHÍNH THỨC