Đề kiểm tra cuối hè năm 2019 lớp 11 môn Toán trường THPT chuyên Bắc Ninh

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH TỔ TOÁN – TIN

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HÈ NĂM 2019 Môn: TOÁN 11 (Dành cho lớp 11 Toán) Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề (Đề gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Gọi 1z , 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 1 0 z z  . Tính giá trị của biểu thức

2020 2020 1 2 P z z   .

b) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho ở vị trí A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn đảo (xem hình minh họa). Vị trí B trên hòn đảo cách bờ biển

6 km, gọi C là điểm trên bờ biển sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một ví trí D trên đoạn bờ biển AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí cho việc lắp đặt đường ống dẫn là thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100 triệu đồng và dưới nước là 260triệu đồng.

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Cho phương trình     2 2 1 1 2 2

1 log 2 4 5 log 8 4 0 2 x m m x        . Tìm tất cả giá trị thực

của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm thuộc 5;4 2        

.

b) Cho đa thức 3 4 5 100 ( ) (2 1) (2 1) (2 1) ... (2 1) P x x x x x          . Tìm hệ số của 2x trong khai triển đa thức  P x và so sánh hệ số đó với 666000.

Câu 3 (2,0 điểm). Cho dãy số thực   nx xác định bởi 1 3 x  và 1 21 2 6 n n x x    với mọi

1,2,... n  . Chứng minh rằng dãy số   nx có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB AC  , đường tròn  nội tiếp tam giác ABC có tâm I và tiếp xúc với các cạnh , , BC CA AB lần lượt tại các điểm , , D E F . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm , A P đồng thời cắt đường thẳng AD tại hai điểm , . A K Hai đường thẳng , PI EF cắt nhau tại điểm , H đường tròn ngoại tiếp tam giác DKH cắt đường tròn  tại hai điểm , . D N a) Chứng minh rằng hai đường thẳng DH và EF vuông góc với nhau. b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với đường tròn .

Câu 5 (2,0 điểm). Cho R là tập các số tự nhiên có 7 chữ số lập được từ hai chữ số 1 và 2. Ta xây dựng tập con S của R theo quy tắc sau: phần tử đầu tiên của S có thể chọn bất kì phần tử nào của R; hai phần tử phân biệt của S phải có ít nhất ba cặp chữ số ở ba hàng nào đó khác nhau. (chẳng hạn hai phần tử 1.111.111 và 1.111.222 là phân biệt vì có ba cặp chữ số ở hàng trăm, chục, đơn vị là khác nhau). Chứng tỏ rằng, theo quy tắc này, với mọi cách xây dựng tập S , số phần tử của S không vượt quá 16.

-------------- HẾT -------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: .............................................................. Số báo danh: ...............................

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

TỔ TOÁN – TIN

ĐA ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HÈ 2019 MÔN: TOÁN 11 (Dành cho lớp 11 Toán) Thời gian: 150 Phút, không kể thời gian phát đề

Câu Nội dung trình bày Điểm 1.a Tính giá trị của biểu thức 2020 2020 1 2 P z z   . 1,0

Ta có 2 1 10 z z 

1 3 2 2 1 3 2 2

z i

z i

     

.

Do    

3 3 1 3 1 3 8 i i    nên

3 3 1 3 1 3 1 2 2 i i                            

.

0,5

Suy ra

2020 3.673 1 3 1 3 1 3 1 3 . 2 2 2 2 i i i i                              

và

2020 3.673 1 3 1 3 1 3 1 3 . 2 2 2 2 i i i i                              

Từ đó suy ra 2020 2020 1 2 3 3 P z z i     .

0,5

1.b Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất… 1,0

Đặt AD x  km,   0 9 x  . Ta có 9 CD x ;  

2 36 9 BD x   

Giá thành lắp đặt là:     2 2 100 260 36 9 20. 5 13 36 9 T x x x x                

0,5

Xét hàm số      2 5 13 36 9 , 0 < < 9 f x x x x     .

Ta có

  

2 9 5 13. 0 36 9

x f x x

     

    2 5 36 9 13 9 x x     

      2 2 2

9 9 13 900 25 36 9 169 9 2 9 144

x x x x x x

                             

Lập bảng biến thiên …