Đề học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Bà Rịa Vũng Tàu

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023

TOANMATH.com Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 13/12/2022

Câu 1: (1.5 điểm)

Giải phương trình 2 2 3 4sin 3 cos2 1 2cos 2 4 x x x π   − = + −    

.

Câu 2: (1.5 điểm)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 2 1 2

n x x   −    

với 0 x > biết rằng n là số

nguyên dương thỏa mãn 0 1 2 .... 1024 n n n n n C C C C + + + + = .

Câu 3: (1.5 điểm)

Giải hệ phương trình

2 2 3 6 1 2 2 4 5 3

(1 ) 2 ( 1)

y x y x y x y

y x y x x y y

 − + + = − − − −  − − + = + − − 

Câu 4: (3.5 điểm)

Giải các phương trình sau:

a) ( )

2 2 2 9 3 2.27 9 3 x x x x x + + − = ;

b) ( ) 3 3 2 2ln ln 2ln 0 3 x x x x x − + − + = .

Câu 5: (4.0 điểm)

a) Cho hàm số 4 mx y x m + = + với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m

thuộc khoảng ( ) 2023;2023 − để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 1;+ ∞.

b) Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 1 3 1 2 2 y x m x m x m = − + + + + − có đồ thị là ( ) m C . Tìm tất cả các giá trị

tham số m để ( ) m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ( ) 2;0 A , B và C sao cho trong hai

điểm B , C có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn ( ) 2 2 : 1 C x y + = .

Câu 6: (1.5 điểm)

Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , biết AC vuông góc

với mặt phẳng ( ) SBD và , 2 AB SD a AD SB a = = = = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

SA và BD .

Câu 7: (2.0 điểm)

Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của SA và BC .

Biết AB a = và MN tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích khối chóp .S ABC theo a .

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023

Trang 2 TOANMATH.com

Câu 8: (1.5 điểm)

Cho hàm số ( ) f x xác định, liên tục trên  và thoả mãn ( ) cot sin 2 cos2 f x x x = + . Tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( ) 1 g x f x f x = − trên đoạn [ ] 1;1 − .

Câu 9: (1.5 điểm)

Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C ′ ′ ′ có 2 3 AB = và 2 AA′ = . Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm

của các cạnh , , A B A C BC ′ ′ ′ ′ và hai điểm , F E lần lượt là giao điểm của mặt phẳng ( ) MNP với

, AB AC ′ ′. Tính thể tích của khối đa diện MFENC B′ ′ .

Câu 10: (1.5 điểm)

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện 1 ≤ − xy y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức ( ) 2 2 2 6 3

x y x y P x y x xy y

+ − = − + − +

.

----------- HẾT ----------

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023

TOANMATH.com Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (1.5 điểm)

Giải phương trình 2 2 3 4sin 3 cos2 1 2cos 2 4 x x x π   − = + −    

.

Lời giải

Ta có: 2 2 3 4sin 3 cos2 1 2cos 2 4 x x x π   − = + −    

( ) 3 2 1 cos 3 cos2 2 cos 2 2 x x x π   ⇔ − − = + −    

sin 2 3 cos2 2cos x x x ⇔ − =

1 3 sin 2 cos2 cos sin 2 sin 2 2 3 2 x x x x x π π     ⇔ − = ⇔ − = −        

2 2 3 2 , 2 2 3 2

x x k k x x k

π π π

π π π π

 − = − +   ⇔ ∈    − = − − +      



5 2 18 3 , 5 2 6

x k k x k

π π

π π

= +  ⇔ ∈  = + 



Kết luận: Phương trình có họ nghiệm là 5 2 5 ; 2 ; 18 3 6 x k x k k π π π π = + = + ∈.

Câu 2: (1.5 điểm)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 2 1 2

n x x   −    

với 0 x > biết rằng n là số

nguyên dương thỏa mãn 0 1 2 .... 1024 n n n n n C C C C + + + + = .

Lời giải

Ta có: ( ) 0 1 2 1+1 .... n n n n n n C C C C = + + + + 2 1024 10. n n ⇔ = ⇔ =

Với 10 n = ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 2 10 2 10 2 10 10 2 0 0

1 2 2 2

k k k k k k k

k k x C x x C x x

− + −

= =   − = − = −     ∑ ∑ .

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k thỏa mãn: ( ) 2. 10 0 8. 2 k k k − + = ⇔ =

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển ứng là: ( ) 8 8 10 2 11520. C − =

Câu 3: (1.5 điểm)

Giải hệ phương trình

2 2 3 6 1 2 2 4 5 3

(1 ) 2 ( 1)

y x y x y x y

y x y x x y y

 − + + = − − − − …