Đề học sinh giỏi thành phố Toán THPT năm 2022 2023 sở GD ĐT Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (2,0 điểm)

a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

3 2 2 1 3 = − + − x y x mx có hai điểm cực trị 1 2 , x x thỏa

mãn 1 2 2 x x − = .

b) Cho hàm số ( ) 3 2 3 4 2 y x x m x m = + + + + + có đồ thị là ( ) m C và điểm 3 2; 2 M   −    

. Tìm các

giá trị thực của tham số m để đường thẳng d có phương trình 2 2 y x = + cắt ( ) m C tại ba điểm

phân biệt ( ) 1;0 A − , B , C sao cho MBC ∆ là tam giác đều.

Lời giải

a) Ta có ( ) ( ) 2 4 0 1 f x x x m ′ = − + = .

Hàm số có hai điểm cực trị 4 0 4 m m ⇔ − > ⇔ < .

Hàm số có 2 điểm cực trị 1 2 , x x thỏa mãn

( )

1 2

1 2 1 2

2 1 2

4

2

4

x x

x x x x m

x x

 + =  − = ⇔ =   − = 

( )

1 2

1 2

2 1 2 1 2

4

16 4 4 3

4 4

x x

x x m m m

x x x x

 + =  ⇔ = ⇒ − = ⇒ =   + − = 

(Thỏa mãn).

b) PTHĐGĐ của ( ) m C và d : ( ) 3 2 3 4 2 2 2 x x m x m x + + + + + = +

( ) ( )

3 2 2 1 3 2 0 2 0 *

x x x m x m x x m

= −  ⇔ + + + + = ⇔ + + = 

d cắt ( ) m C tại 3 điểm phân biệt ( ) * ⇔ có 2 nghiệm phân biệt khác 1 − 1 0 1 1 0 m m m − >  ⇔ ⇔ < −+ ≠ 

Giả sử ( ) ( ) 1 1 2 2 ;2 2 , ;2 2 B x x C x x + + , với 1 2 , x x là nghiệm phương trình ( ) *

MBC ∆ đều ( ) ( )

2 2 1

3 4 2 3 3 2 ; 5. . 2 2 5 BC d M d x x + + ⇔ = ⇔ = −

( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 2 1 3 4 3 1 4 3 2 x x x x x x m m ⇔ − = ⇔ + − = ⇔− = ⇔ = − (thỏa mãn).

Câu 2: (1,0 điểm)

Cho hai số thực a , b thỏa mãn 1 > > a b và 1 1 2022 log log + =

b a a b .

Tính giá trị biểu thức 1 1 log log = −

ab ab P b a .

Ta có 1 1 2022 log log 2022 log log + = ⇔ + = a b b a b a a b

Ta có ( ) ( )

2 2 2 2 1 1 log log log log log log   = − = − = −     b a b b ab ab P ab ab a a b a

( )

2 2 2 2 log 2log log log log log 4 2018 2018 ⇔ = − + = + − = ⇒ = b b b a b b P a a a b a a P .

Câu 3: (1,0 điểm)

Giải phương trình ( )

2 2 3sin 3 cos 2sin cos 1 2cos tan − − = − x x x x x x .

Điều kiện:

1 sin 2 sin 0 cos 0

 ≠   ≠   ≠  

x

x x

.

Phương trình 2 2 3sin 3 cos 2sin sin 2cos sin ⇔ − − = − x x x x x x

2 2 3sin 2cos sin 3 cos 3sin 0 ⇔ + − − = x x x x x ( ) ( ) 2sin 3sin cos 3 3sin cos 0 ⇔ + − + = x x x x x

( )( ) 2sin 3 3sin cos 0 ⇔ − + = x x x

( )

( )

( )

( )

2 3 3 2sin 3 0 sin 2 2 , 2 3 3sin cos 0 cot 3

6

π π

π π

π π

 = +     − = =   ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈    + =    = −  −  = + 



x k n

x x x k n k x x

x k n

.

Vậy tập nghiệm phương trình 2 | 2 ; 2 ; 3 3 6 π π π π π π −   = ∈ + + +      S k k k k .

Câu 4: (1,0 điểm)

Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình sau có bốn nghiệm thực phân biệt

( ) ( )

2 2

2 2 1 0 * 2 1 0.

x y mx

x y x y m x y

 + − −=  − + + − − + = 

Lời giải

+) Hệ ( )

2 2 1 0 * ( 1)( 2 ) 0

x y mx

x y x y m

 + − −= ⇔ − + + − = 

2 2

2 2

1 0 (1) 1 0 (2)

1 0 (1)

2 0 (3)

x y mx

x y

x y mx

x y m

 + − −= − + =   ⇔ + − −=   + − =  

(1) là phương trình của đường tròn (C) có tâm I ;0 2 m       và bán kính R =

2 4 2 m + .

(2), (3) lần lượt là phương trình các đường thẳng (∆2), (∆3).