Đề học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm 2022 2023 sở GD ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

TOANMATH.com

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn thi: TOÁN

Ngày thi: 19/10/2022

Thời gian làm bài: 180 phút (không tính thời gian phát đề)

Đề thi gồm 05 câu & 01 trang

Câu I. (2,0 điểm)

1) Cho hàm số 2 2 1 x y x

+ = − có đồ thị ( ) C và đường thẳng ( ) d có phương trình 2 y x m = − + với m là tham số.

Tìm m để đường thẳng ( ) d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm A và B phân biệt sao cho 5 AB = .

2) Cho hàm số 4 2 2 1 y x mx m = − + − có đồ thị ( ) m C với m là tham số. Tìm m để đồ thị ( ) m C có 3 điểm cực

trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân.

Câu II. (2,0 điểm)

1) Một nhóm 15 học sinh gồm 6 học sinh lớp A, 5 học sinh lớp B, 4 học sinh lớp C. Lấy ngẫu nhiên 7 học sinh trong nhóm trên. Tính xác suất để 7 học sinh lấy ra có đủ cả 3 lớp và số học sinh lớp B bằng số học sinh lớp C.

2) Giải phương trình:

3 2

2 2 3 4 1 1 3 x x x x x x + − + = −+ +

.

Câu III. (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình: ( ) 3 2

2 2 6 7 3 3 2 2 0

2 4 3 3 7

y y y x x

y y y x

 + + + + − − = 

+ + + = + − 

.

2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trọng tâm G; gọi E, H lần lượt là trung điểm của AB, BC. D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Biết ( ) 1; 1 D −− , đường thẳng

IG có phương trình 6 3 7 0 x y − − = và điểm E có hoành độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Câu IV. (3,0 điểm)

1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng ( ) SAB và mặt phẳng ( ) ABCD

bằng 60°.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC, M là điểm thuộc cạnh SB sao cho 1 4 SM SB = . Tính góc giữa hai

đường thẳng GM và BC.

2) Cho hình lập phương 1 1 1 1 . ABCD ABC D có cạnh bằng a . Đường thẳng d đi qua 1 D và tâm O của hình vuông

1 1 BCC B . Đoạn thẳng MN có trung điểm K thuộc đường thẳng d, biết M thuộc mặt phẳng ( ) 1 1 BCC B , N thuộc

mặt phẳng ( ) ABCD . Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

Câu V. (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( ) ( ) ( )

2 2 3

2 2 3 4

3

a b c P

a b b c c a = + + + + +

.

--------------- HẾT ---------------

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm./.

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT ĐỀ THI HSG NĂM HỌC 2022-2023

TÀI LIỆU ÔN THI HSG Trang 3

ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. (2 điểm)

1) Cho hàm số 2 2 1 x y x + = − có đồ thị ( ) C và đường thẳng ( ) d có phương trình 2 y x m = − +

với m là tham số. Tìm m để đường thẳng ( ) d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm A và B phân biệt

sao cho 5 AB = .

Lời giải Điều kiện 1 x ≠.

Xét phương trình hoành độ giao điểm ( )( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 x x m x mx m x x + = − + ⇔ − + + = ≠ − .

Để đường thẳng ( ) d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm A và B phân biệt thì ( ) 1 phải có hai nghiệm

phân biệt khác 1 ( )

2 4 4 2 8 16 0 2 2.1 2 4 0 4 4 2

m m m m m m

 > +  − − > ⇔ ⇔  − + + = ≠ < −   

.

Với điều kiện ( ) 2 thì ( ) d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm ( ) ; 2 A A A x x m − + và ( ) ; 2 B B B x x m − +

phân biệt thỏa mãn 2 2 . 2

A B

A B

m x x

m x x

 + =  +  = 

.

Vì độ dài ( ) ( ) ( )

2 2 2 5 5 5 2 . 1 2 1 4 B A A B A B m AB x x x x x x m = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − + =

2 2 4 12 0 6

m m m m

= −  ⇔ − − = ⇔ = 

.

Kết hợp với điều kiện ( ) 2 ta thấy 2 m = − thỏa mãn.

2) Cho hàm số ( ) 4 2 2 1 f x x mx m = − + − có đồ thị ( ) m C với m là tham số. Tìm m để đồ thị

( ) m C có 3 cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân.

Lời giải Ta có: 3 4 4 y x mx ′ = − .

2 0 0 0 x x y x m x m

= =   ′ = ⇔ ⇔  = = ±  

Để đồ thị ( ) m C có 3 cực trị 0 y′ ⇔ = có 3 nghiệm phân biệt 0 m ⇔ > .

Với 0 m > thì đồ thị ( ) m C có 3 điểm cực trị lần lượt là ( ) 0; 1 ; A m − ( ) 2 ; 1 ; B m m m − − + −

( ) 2 ; 1 C m m m − + − .