Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Kiên Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ nhất: 30/8/2022 (Đề thi có 01 trang, gồm 4 bài)

Bài 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số (𝑥௡) xác định bởi 𝑥ଵ= 4 và

𝑥௡ାଵ= 9

ඥ𝑥௡+ 1 + 1

, ∀𝑛≥1.

a) Chứng minh rằng dãy (𝑥௡) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Với mỗi số nguyên dương 𝑛, chứng minh rằng

𝑥ଵ+ 𝑥ଶ+ ⋯+ 𝑥௡

𝑛 ≥3.

Bài 2. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các bộ ba số thực không âm (𝑥; 𝑦; 𝑧) thỏa mãn

ቐ

𝑥≤𝑦≤𝑧 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 𝑥𝑦+ 𝑦𝑧+ 𝑧𝑥

ඥ𝑦𝑧(𝑥+ 1) = 2.

Bài 3. (4,0 điểm)

Cho 𝑝, 𝑞 là các số nguyên tố và thỏa mãn: 𝑞= 4𝑝+ 1. Chứng minh rằng số

𝑁௣= 𝑝௣−1

𝑝−1

chia hết cho 𝑞.

Bài 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵< 𝐴𝐶 và nội tiếp đường tròn (𝑂). Tiếp tuyến tại 𝐴 của (𝑂) cắt đường thẳng 𝐵𝐶 tại 𝐷. Gọi 𝐸, 𝐹 tương ứng là giao điểm của đường thẳng 𝑂𝐷 với các đường thẳng 𝐴𝐵, 𝐴𝐶. Lấy các điểm 𝐾, 𝐻 thuộc 𝐵𝐶 sao cho 𝐸𝐾∥𝐴𝐶, 𝐹𝐻∥ 𝐴𝐵. Gọi 𝐺 là giao điểm của 𝐸𝐾 và 𝐹𝐻.

a) Chứng minh rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác (𝐺𝐾𝐻) tiếp xúc với (𝑂). b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐺𝐸𝐹 cắt 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 tương ứng tại các điểm thứ

hai 𝑃, 𝑄 (𝑃 khác 𝐸, 𝑄 khác 𝐹). Chứng minh rằng, 𝑃𝑄 đi qua trực tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶.

--------------------HẾT--------------------

Ghi chú:

 Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.  Giám thị KHÔNG giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ hai: 31/8/2022 (Đề thi có 01 trang, gồm 03 bài)

Bài 5. (7,0 điểm)

Cho dãy đa thức ൫𝑃𝑛(𝑥)൯ xác định bởi: 𝑃଴(𝑥) = 𝑥ଷ−4𝑥 và

𝑃௡ାଵ(𝑥) = 𝑃௡(1 + 𝑥). 𝑃௡(1 −𝑥) −1

với mọi số tự nhiên 𝑛, mọi 𝑥∈𝑅.

a) Tính 𝑃ଶ଴ଶଶ(2).

b) Chứng minh rằng, tồn tại một đa thức 𝑄(𝑥) với hệ số nguyên sao cho

𝑃ଶ଴ଶଶ(𝑥) = 𝑥ଶ଴ଶଷ. 𝑄(𝑥) với mọi 𝑥∈𝑅.

Bài 6. (6,0 điểm)

Cho số nguyên 𝑛≥2. Xét 𝑚 là một số nguyên dương sao cho tồn tại một tập hợp 𝑇 thoả mãn đồng thời các tính chất sau đây:

◦ Mỗi phần tử của 𝑇 là một tập con 𝑚 phần tử của tập {1, 2, 3, . . . , 𝑚𝑛}.

◦ Mỗi cặp phần tử của 𝑇 có không quá 1 phần tử chung.

◦ Mỗi phần tử của tập {1, 2, 3, . . . , 𝑚𝑛} thuộc đúng hai phần tử của 𝑇.

Tìm giá trị lớn nhất có thể của 𝑚.

Bài 7. (7,0 điểm)

Cho tam giác không cân 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn (𝑂). Đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐵𝑂𝐶 cắt 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 tương ứng tại 𝐴௕ , 𝐴௖; đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐶𝑂𝐴 cắt 𝐵𝐴, 𝐵𝐶 tương ứng tại 𝐵௔, 𝐵௖; và đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝑂𝐵 cắt 𝐶𝐴, 𝐶𝐵 tương ứng tại 𝐶௔, 𝐶௕ (các điểm 𝐴௕, 𝐴௖, 𝐵௖, 𝐵௔, 𝐶௔, 𝐶௕ không trùng với các đỉnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶). Các cặp đường thẳng (𝐵௖𝐵௔, 𝐶௔𝐶௕), (𝐶௔𝐶௕, 𝐴௕𝐴௖), (𝐴௕𝐴௖, 𝐵௖𝐵௔) lần lượt có các giao điểm là 𝑋, 𝑌, 𝑍. Chứng minh rằng

a) Các điểm 𝑂, 𝐵௔, 𝐶௔ thẳng hàng.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝑋𝑌𝑍 tiếp xúc với (𝑂).

--------------------HẾT--------------------

Ghi chú:

 Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.  Giám thị KHÔNG giải thích gì thêm.

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2022-2023

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 30/8/2022 (Hướng dẫn chấm có 03 trang)

A. HƯỚNG DẪN CHẤM

- Nếu học sinh giải theo cách khác đáp án mà vẫn logic, đúng thì giám khảo xem xét cho điểm tương ứng.

- Nếu học sinh có sử dụng các định lí, các hệ quả, các bổ đề… phổ biến trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi và nêu được tên thì giám khảo vẫn chấm đúng.

- Điểm số toàn bài, mỗi câu, mỗi ý không làm tròn, giám khảo có thể thống nhất đáp án, chia các ý điểm lớn thành bội của 0,25.

B. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Bài Ý Nội dung Điểm

1 Cho dãy số (𝑥𝑥𝑛𝑛) … 5,0

a) Chứng minh rằng dãy (𝑥𝑥𝑛𝑛) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 3,0

Bằng quy nạp, ta có 0 < 𝑥𝑥𝑛𝑛< 9

2 với mọi n ≥ 1. 1,0

Với mỗi số nguyên dương n, ta có

|𝑥𝑥𝑛𝑛+1 −3| = 3|𝑥𝑥𝑛𝑛−3|

൫2 + ඥ𝑥𝑥𝑛𝑛+ 1൯൫1 + ඥ𝑥𝑥𝑛𝑛+ 1൯

≤1 2 |𝑥𝑥𝑛𝑛−3|

Suy ra

|𝑥𝑥𝑛𝑛−3| ≤ 1 2𝑛𝑛−1 , ∀𝑛𝑛≥1.

Từ đó suy ra lim 𝑥𝑥𝑛𝑛= 3.

2,0

b)

Với …