Đề kiểm tra đội tuyển HSG Toán năm 2021 2022 trường chuyên Vị Thanh Hậu Giang

SỞ GD & ĐT TỈNH HẬU GIANG KIỂM TRA ĐÔI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN VỊ THANH KHÓA NGÀY 01/03/2022 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I: (5,0 điểm)

1) Giải phương trình 2 ( 1) 1 5 3 4 1 x x x x x x - + - - = - - trên tập số thực.

2) Giải hệ phương trình

3 3

2 2 9

2 4

x y

x y x y

        (với , ). x y Î 

Câu II: (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2 ( ) 3 f x ax bx x d     (với , , ,  a b c d ) có đồ thị như hình vẽ

1) Tìm hàm số ( ). f x 2) Phương trình 2 ( 2 ) 2 f x x   có tất cả bao nhiêu nghiệm thực. Câu III: (4,0 điểm) 1) Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn điều kiện 1. x y + £

Chứng minh rằng 1 1 4 . x y x y + ³ + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 4 . P xy x y xy = + + +

2) Cho dãy số ( ) n u được xác định như sau 1 2 4; 5 u u = = và 2 2 1 ( 1) , n n n u u n u + + = - + với , 1. n n Î ³ 

Tính 3u và 4. u Tìm số hạng tổng quát nu của dãy số trên. Câu IV: (3,0 điểm)

1) Tìm số hạng không chứa trong khai triển ?

2) Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm chia hết cho 10? Câu V: (5,0 điểm) 1). Trong mặt phẳng Oxy, biết một cạnh tam giác có trung điểm là   1;1 M  ; hai cạnh kia nằm trên các

đường thẳng 2 6 3 0 x y    và   2 x t t y t        . Hãy viết phương trình tham số của cạnh thứ ba của tam

giác đó? 2). Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật với   AD a 3,AB 2a . Tam giác SAB cân tại S và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SD và mặt phẳng ( ) ABCD bằng 0 45 .Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng SD và BC . ...........................HẾT........................... Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

x

10 2 1 1 x x        

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

Đáp án và thang điểm Câu Nội dung Điểm

Câu I.1 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình 2 ( 1) 1 5 3 4 1 x x x x x x - + - - = - - trên tập số thực. 2,0

Điều kiện: 1 5. x   0,25

Ta có 2 ( 1) 1 5 3 4 1 x x x x x x - + - - = - -

2 ( 1) 1 ( 1) 2 5 3 3 x x x x x x x x  - + - - + - - = - 0,25

2 ( 1)( 1 1) (2 5 ) 3 3 0 x x x x x x  - + - + - - - + = 0,25

( 1) ( 1) 3 ( 1) 0 1 1 2 5 x x x x x x x x - -  + - - = + + + - 0,25

( ) ( 1) 0 1 1 ( ) 3 0 1 1 2 5

f x x x

g x x x

é = - = êê ê = + - = ê + + + - ë

0,25

Ta có 0 ( ) 0 1 x f x x      (nhận). 0,25

Do 1 1 1 x + + ³ và 2 5 2 x + - ³ nên 1 1 2. 1 1 2 5 x x + < + + + - 0,25

Do đó   ( ) 0, 1;5 . g x x   Do đó, phương trình ( ) 0 g x  vô nghiệm. 0,25

Câu I.2 (3,0 điểm)

2) Giải hệ phương trình

3 3

2 2 9

2 4

x y

x y x y

        (với , ). x y Î  3,0

Ta có

3 3 3 3

2 2 2 2 9 (1) 9 0 . 2 4 (2) 3 6 3 12 0

x y x y

x y x y x y x y

                       0,25

Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai theo vế, ta được: 3 2 3 2 3 3 1 6 12 8 0 x x x y y y        0,25

3 3 ( 1) ( 2) 0 x y      0,5

1 2 x y    0,25

3 y x    0,25

Thay 3 y x   vào (2), ta có 2 3 2 0 x x    0,5

1 x   hoặc 2 x  (nhận). 0,5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1 2 x y      hoặc 2. 1 x y      0,5

Câu II.1 (1,25 điểm)

Cho hàm số 3 2 ( ) 3 f x ax bx x d     (với , , ,  a b c d ) có đồ thị như hình vẽ

1) Tìm hàm số ( ). f x

1,25