Đề kiểm tra đội tuyển HSG lần 1 lớp 12 môn Toán năm 2020 2021 trường THPT Vĩnh Lộc Thanh Hóa

1

Câu I(4 điểm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 

3 3 2 y f x x x    

2. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3 2 y m x x      cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Câu II(4 điểm).

1. Giải phương trình lượng giác:   2cos 2sin 2 2sin 1 cos2 3 1 sin 2cos 1 x x x x x x       

2. Giải hệ phương trình:  

2 2 2

2

27 2 2

1 3 1 9 1 1

4 9 4 4 x y x

xy y

x x

y x 

            

Câu III(4 điểm).

1. Bốn người khách cùng ra khỏi quán và bỏ quên mũ. Chủ quán không biết rõ chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để cả bốn người cùng được trả sai mũ.

2. Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức ( ) . rt S t Ae  . Trong đó, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, ( ) S t là số lượng vi khuẩn có được sau thời gian t (phút), 0 r  là tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời gian và t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con ? Câu IV(6 điểm). 1. Cho hình lăng trụ tam giác . ’ ’ ’, ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông với 2 AB BC   và A’ cách đều các đỉnh , , . A B C Gọi , L K lần lượt là trung điểm của , . BC AC Trên các đoạn ’ , ’ A B A A lần lượt lấy , M N sao cho ’ 2 , ’ 3 ’ . MA BM AA A N   Tính thể tích khối tứ diện , MNKL biết

’ 10. A L  2. Bạn An muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác

đều ABC có cạnh bằng   90 cm . Bạn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu

(với M , N thuộc cạnh BC ; P , Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có

chiều cao bằng MQ . Tính thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn An có thể làm được.

3. Cho hình chóp .S ABC có AB BC CA a    , 3 SA SB SC a    , M là điểm bất kì trong không gian. Gọi d là tổng khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng AB , BC , CA, SA, SB ,

SC . Tính giá trị nhỏ nhất của d .

Câu V(2 điểm). Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn 2 2 2 12 a b c    .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 8 3. ( 2 )( 2 ) 1 1 4 8 P a b a c a b c c          

.

...HẾT...

SỞ GD & ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC ĐỘI TUYỂN HSG LẦN 1

LIÊN TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC - THẠCH THÀNH NĂM HỌC 2020 -2021 Môn: Toán - Lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày kiểm tra: 08 tháng 11 năm 2020 (Đềthi gồm có 01 trang, 05 câu)

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

Qui định chung +) Tổng điểm của bài thi được làm tròn đến 0.25 điểm. +) Học sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng cho điểm tối đa từng phần theo qui định. +) Nếu bài hình nào không vẽ hoặc vẽ sai cơ bản thì không được chấm điểm bài đó.

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC ĐỘI TUYỂN HSG

LIÊN TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC - THẠCH THÀNH

NĂM HỌC 2020 -2021 Môn: Toán - Lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày kiểm tra:08 tháng 11 năm 2020 (Đáp án gồm có 09 trang, 05 câu)

Câu Nội Dung Điểm I (4đ)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 

3 3 2 y f x x x     2đ

 Tập xác định: . D R   Sự biến thiên: +) Giới hạn và tiệm cận: lim ,lim x x y y     đồ thị hàm số không có tiệm cận.

0,5

+) Chiều biến thiên: 2 ' 3 3. y x  

2 1 ' 0 3 3 0 .1 x y x x

         Hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 1  và   1; .  Hàm số nghịch biến trên các khoảng   1;1 

0,5

ng biến thiên:

0,5

 Đồ thị: +)Nhận điểm uốn I(0; -2) làm tâm đối xứng. +) Cắt Ox tại điểm   ( 1;0); 2;0  , cắt Oy tại điểm (0; 2) 

Đồ thị như hình vẽ

0,5

2. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3 2 y m x x      cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 2đ

HDC CHÍNH THỨC