Chuyên đề hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com 30

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI

Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất

Kiến thức cần nhớ:

1. Định nghĩa:

+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y ax b = + trong đó

a và b là các số thực cho trước và 0 a ≠ .

+ Khi 0 b = thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y ax = , biểu thị tương

quan tỉ lện thuận giữa y và x .

2. Tính chất: a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị x R ∈.

b) Trên tập số thực, hàm số y ax b = + đồng biến khi 0 a > và nghịch

biến khi 0 a < . 3. Đồ thị hàm số y ax b = + với ( ) 0 a ≠ .

+ Đồ thị hàm số y ax b = + là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ

bằng b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng b a − .

+ a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b = +

4. Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b = + .

+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm.

+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ

là ( ) ;0 , 0; b A B b a   −    

.

THCS.TOANMATH.com 31

+ Chú ý: Đường thẳng đi qua ( ) ;0 M m song song với trục tung có phương

trình: 0 x m − = , đường thẳng đi qua ( ) 0; N n song song với trục hoành có

phương trình: 0 y n − =

5. Kiến thức bổ sung.

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y thì

( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 AB x x y y = − + − . Điểm ( ) ; M x y là trung điểm của AB thì

1 2 1 2 ; 2 2 x x y y x y + + = = .

6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông góc.

Cho hai đường thẳng ( ) 1 : d y ax b = + và đường thẳng ( ) 2 : ' ' d y a x b = + với

, ' 0 a a ≠ .

• 1 2 ( ) / /( ) ' d d a a ⇔ = và ' b b ≠ .

• 1 2 ( ) ( ) ' d d a a ≡ ⇔ = và ' b b = .

• ( ) 1d cắt ( ) 2 ' d a a ⇔ ≠ .

• 1 2 ( ) ( ) . ' 1 d d a a ⊥ ⇔ = −

Chú ý: Gọi ϕ là góc tạo bởi đường thẳng y ax b = + và trục Ox , nếu 0 a >

thì tan a ϕ = .

Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ:

Ví dụ 1) Cho đường thẳng ( ) 1 : 2 d y x = + và đường thẳng

( ) ( ) 2 2 2 : 2 d y m m x m m = − + + .

a) Tìm m để 1 2 ( ) / /( ) d d .

THCS.TOANMATH.com 32

b) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng 1 ( ) d có hoành độ 2 x = . Viết

phương trình đường thẳng 3 ( ) d đi qua A vuông góc với 1 ( ) d .

c) Khi 1 2 ( ) / /( ) d d . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

( ) 1 2 ( ), d d .

d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng 1 ( ) d và tính

diện tích tam giác OMN với , M N lần lượt là giao điểm của 1 ( ) d

với các trục tọa độ , Ox Oy .

Lời giải:

a) Đường thẳng 1 2 ( ) / /( ) d d khi và chỉ khi

( )( ) ( )( )

2

2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 2 0 2

m m m m m m m m m

− + =   − =   ⇔ ⇔ = −   − + ≠ + ≠    

.

Vậy với 1 2 m = − thì 1 2 ( ) / /( ) d d .

b) Vì A là điểm thuộc đường thẳng 1 ( ) d có hoành độ 2 x = suy ra

tung độ điểm A l ( ) 2 2 4 2;4 y A = + = ⇒ .

Đường thẳng ( ) 1d có hệ số góc là 1 a = , đường thẳng ( ) 2 d có hệ số góc là

' '.1 1 ' 1 a a a ⇒ = −⇒ = − . Đường thẳng ( ) 3 d có dạng y x b = −+ . Vì ( ) 3 d

đi qua ( ) 2;4 A suy ra 4 2 6 b b = −+ ⇒ = . Vậy đường thẳng ( ) 3 d là

6 y x = −+ .

c) Khi 1 2 ( ) / /( ) d d thì khoảng cách giữa hai đường thẳng ( ) 1d và ( ) 2 d cũng

chính là khoảng cách giữa hai điểm , A B lần lượt thuộc ( ) 1d và ( ) 2 d sao

cho ( ) 1 2 ( ), AB d AB d ⊥ ⊥ .

Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng

3 ( ) d và 2 ( ) d . Phương trình hoành độ giao điểm

B

A

(d3)

(d2)

(d1)