Các bài toán về quan hệ chia hết trong tập hợp số

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Định nghĩa phép chia.

Cho hai số nguyên a và b trong đó b ≠ 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy

nhất sao cho = + a bq r , với 0 1. r b ≤ ≤ − Trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương,

r là số dư.

Khi a chia cho b thì các số dư { } 0;1;2;...; 1 r b ∈ −

• Nếu = r 0 thì = a bq , khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu:  a b hay

b a .

Vậy a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho = a bq .

• Nếu ≠ r 0 , khi đó ta nói a chia b có số dư là r.

2. Một số tính chất cần nhớ

• Tính chất 1. Mọi số nguyên khác 0 luôn chia hết cho chính nó.

• Tính chất 2. Nếu a b  và b c  thì . a c 

• Tính chất 3. Nếu a b  và b a  thì . a b = ±

• Tính chất 4. Nếu  a.b m và ( ) = b,m 1 thì  a m .

• Tính chất 5. Nếu a m  và b m  thì ( ) . a b m ± 

• Tính chất 6. Nếu , a m a n   và ( ) , 1 m n = thì . a mn 

• Tính chất 7. Nếu a b  và c d  thì . ac bd 

• Tính chất 8. Trong n số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên chia hết cho n.

• Tính chất 9. Nếu − ≠ a b 0 với a, b là các số tự nhiên thì ( ) ( ) ( ). n n a b a b n N − − ∈ 

• Tính chất 10. Nếu + ≠ a b 0 với a, b, n là các số tự nhiên và n là số lẻ thì ( ) ( ). n n a b a b + + 

3. Một số dấu hiệu chia hết

Đặt − = n n 1 2 1 0 A a a ...a a a , với − n n 1 2 1 0 a ;a ;...;a ;a ;a là các chữ số. Khi đó ta có các dấu hiệu chia

hết như sau:

CHỦ ĐỀ

2

QUAN HỆ CHIA HẾT

TRONG TẬP HỢP SỐ

TỦ SÁCH CẤP 2| 30

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |

CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

{ } 0 0 2 2 0;2;4;6;8 A a a • ⇔ ⇔ ∈  

( ) 0 1 1 3 .... 3. n n A a a a a − • ⇔ + + + +  

1 0 4 4 A a a • ⇔  

{ } 0 0 5 5 0;5 . A a a • ⇔ ⇔ ∈  

2 1 0 8 8 A a a a • ⇔  

( ) 0 1 1 9 .... 9. n n A a a a a − • ⇔ + + + +  

( ) ( ) 0 2 1 3 11 .... ... 11. A a a a a • ⇔ + + − + +      

1 0 25 25 A a a • ⇔  

2 1 0 125 125 A a a a • ⇔  

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Sử dụng tính chất trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết

cho n (n ≥ 1)

* Cơ sở phương pháp: Sử dụng các tính chất cơ bản như: tích hai số nguyên liên tiếp chia

hết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và 3 do đó chia hết cho 6. Chúng ta

vận dụng linh hoạt các tính chất cơ bản này trong nhiều các bài toán về chia hết.

Bài toán 1. Chứng minh rằng:

a) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

b) Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

c) Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120

Hướng dẫn giải

a) Trong 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2 nên

tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 (do (2, 3) = 1)

b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và (2n + 2) với n Z ∈

Do đó tích hai số nguyên liên tiếp có dạng 4n(n + 1)

Do n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên ( ) n n 1 2 + 

Vì thế ( ) 4n n 1 8 + 

c) Ta có 120 = 3.5.8

Do 5 số nguyên liên tiếp có 3 số liên tiếp nên theo ý a) ta có tích 5 số nguyên liên tiếp chia

hết cho 6.

31 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC