Các bài toán về ước và bội

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |

CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

A. KiÕn thøc cÇn nhí

I. Ước và bội

1) Định nghĩa về ước và bội

Ước: Số tự nhiên 0 d ≠ được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là ước của a.

Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư( ) { } : | a d N d a = ∈

Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của 0 a ≠ khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m.

Nhận xét: Tập hợp các bội của a( ) 0 a ≠ là ( ) { } 0; ;2 ;...; , B a a a ka k Z = ∈

2) Tính chất:

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.

- Nếu Ư( ) { } 1; a a = thì a là số nguyên tố.

- Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số

tự nhiên A là . . x y z a b c … thì số lượng các ước của A bằng ( )( )( ) 1 1 1 x y z + + + …

Thật vậy ước của A là số có dạng mnp …trong đó:

m có 1 x + cách chọn (là 2 1, , , , x a a a … )

n có 1 y + cách chọn (là 2 1, , , , y b b b … )

p có 1 z + cách chọn (là 2 1, , , , z c c c … ),…

Do đó, số lượng các ước của A bằng ( )( )( ) 1 1 1 x y z + + +

II. Ước chung và bội chung

1) Định nghĩa

Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) và Ư(b) có những phần tử chung thì những phần

tử đó gọi là ước số chung của a và b. Kí hiệu ƯC(a; b)

CHỦ ĐỀ

1

CÁC BÀI TOÁN VỀ

ƯỚC VÀ BỘI

5 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

| CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI

Nhận xét: Nếu ƯC( ) { } ; 1 a b = thì a và b nguyên tố cùng nhau.

Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số d N ∈ được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b

( ) ; a b Z ∈ khi d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC(a; b). Kí hiệu ước chung lớn nhất

của a và b là ƯCLN(a; b) hoặc (a;b) hoặc gcd(a;b).

Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) và B(b) có những phần tử chung thì những phần tử

đó gọi là bội số chung của a và b. Kí hiệu BC(a; b)

Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số 0 m ≠ được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b khi m

là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(a; b). Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là

BCNN(a; b) hoặc [ ] ; a b hoặc lcm(a;b).

2) Cách tìm ƯCLN và BCNN

a) Muốn tìn ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ,ta thực hiện các bước sau :

1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

2.- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

3.- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó

Tích đó là ƯCLN phải tìm .

Ví dụ: 2 30 2.3.5, 20 2 .5 = = ⇒ƯCLN(30; 20) 2.5 10. = =

Chú ý :

- Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng là 1.

- Hai hay nhiều số có ƯCLN là 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

- Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho

chính là số nhỏ nhất ấy.

b) Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 , ta thực hiện ba bước sau :

1- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố .

2- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng .

3- Lập tích các thừa số đã chọn , mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của chúng

Tích đó là BCNN phải tìm .

Ví dụ: 2 30 2.3.5, 20 2 .5 = = ⇒BCNN(30; 20) 2 2 .3.5 60 = =

Chú ý:

- Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích các số

đó. Ví dụ : BCNN(5 ; 7 ; 8) = 5 . 7 . 8 = 280

- Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho

chính là số lớn nhất đó . Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48

3) Tính chất

Một số tính chất của ước chung lớn nhất:

TỦ SÁCH CẤP 2| 6