Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình nghiệm nguyên là phương trình có nhiều ẩn số, tất cả các hệ số của phương trình đều là số nguyên. Các nghiệm cần tìm cũng là số nguyên.

2. Phương trình nghiệm nguyên không có công thức giải tổng quát, chỉ có cách giải của một số dạng.

Trong chuyên đề này được giới thiệu qua một số ví dụ và bài tập cụ thể.

3. Cách giải phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng, đòi hỏi học sinh phân tích, dự đoán, đối chiếu và tư

duy sáng tạo, lôgic để tìm nghiệm.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương pháp đưa về phương trình ước số

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về dạng: Vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:   2 5 3 x y xy    .

Lời giải

Ta có:   2 5 3 3 2 2 5 x y xy xy x y       

    2 4 3 2 3 2 5 3 3 y x x      

   3 2 3 2 19 x y    

Do x, y nguyên dương nên 3 2 1; 3 2 1 x y    .

Mà 19 1.19 19.1   nên xảy ra các trường hợp sau:

3 2 1 3 2 19 x y       

(I) hoặc 3 2 19 3 2 1 x y       

(II).

Giải các hệ phương trình (I) và (II) ta được hai nghiệm nguyên của phương trình là    1;7 , 7;1 .

Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình là      1;7 , 7;1 S  .

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4 3 2 2 4 6 4 x x x x y     .

Lời giải

Ta có: 4 3 2 2 4 3 2 2 4 6 4 4 6 4 1 1 x x x x y x x x x y          

  4 2 1 1 x y    

    2 2 1 1 1 x y x y            

 

 

 

 

2

2

2

2

1 1

1 1

1 1

1 1

x y

x y

x y

x y

                       

Suy ra 1 1 0 0 1 1 1 1 2 y y x y x y y x                

.

Thử lại các giá trị tương ứng của x và y ta đều thấy thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình có tập nghiệm nguyên là      0;0 , 2;0 S   .

Dạng 2: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình.

+ Nếu a m và   a b m  thì b m.

+ Nếu , a b b c thì a c .

+ Nếu ab c mà ƯCLN  , 1 b c  thì a c .

+ Nếu , a m b n thì ab mn .

+ Nếu , a b a c với ƯCLN  , 1 b c  thì a bc.

+ Trong m số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của m.

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

- Hai vế của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số dư khác nhau thì phương trình

đó không có nghiệm nguyên.

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 3 xy x y    .

Lời giải

Ta có:   2 3 2 3 xy x y y x x       .

Vì 2 x  không thỏa mãn phương trình nên suy ra: 3 1 1 2 2 x y y x x       .

Ta thấy y là sốnguyên nên 2 x  là ước của 1 hay 2 1 x   hoặc 2 1 x  , tức là 1 x  hoặc 3 x .

Vậtập nghiệm nguyên của phương trình là:      1; 2 , 3;0 S   .

Chú ý: Bài toán này có thể dùng phương pháp đưa về phương trình ước số:

    1 2 1 1 x y y    

   2 1 1 x y    .

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 4 19 3 x x y    .

Lời giải

Ta có: 2 2 2 4 2 21 3 x x y         2 2 2 1 3 7 x y     (*)

Ta thấy     2 2 3 7 2 7 2 y y y     lẻ.

Ta lại có     2 2 2 3 7 2 1 0 7 y x y       nên chỉ có thể 2 1 y .

Khi đó phương trình (*) có dạng:   2 2 1 18 x   .

Ta được: 1 3 x , do đó 1 2 2, 4 x x  .

Vậy tập nghiệm của phương trình là        2;1 , 2; 1 , 4;1 , 4; 1 S      .

Dạng 3: Phương pháp xét số dư từng vế

Phương pháp giải