Phân tích và bình luận một số đề thi vào chuyên của một số trường trên cả nước năm 2017

PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐĐỀTHI

VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA MỘT SỐTRƯỜNG

TRÊN CẢNƯỚC NĂM 2017

Nhóm thực hiện

• Phạm Quốc Sang

Cựu học sinh trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam.

• Phạm Hữu Hiệp

Cựu học sinh trường THPT Chuyên Tiền Giang, Tiền Giang.

• Lê Minh Cường

Cựu học sinh trường THPT TT Quốc Văn Sài Gòn

• Bùi Tiến Lộc

Cựu học sinh trường phổthông năng khiếu ĐHQG TPHCM

• Nguyễn ThịTuyết Như

Cựu học sinh trường THPT Nguyễn Trãi, Đồng Nai

• Châu Ngọc Vinh

Cựu học sinh trường THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi

• Vương Phú Quý

Cựu học sinh trường THPT Buôn Hồ, Đăk Lăk

• Nguyễn Cao Đẳng

Cựu học sinh trường THPT Nguyễn Tất Thành, Đồng Nai

• Phạm Duy Nguyên

Cựu học sinh trường THPT Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi.

Mục lục

1 Đềtuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM 3

2 Đềthi Phổthông năng khiếu đại học Quốc gia TP. HCM (vòng 1) 19

3 Đềthi tuyển sinh THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa, vòng 1-2017 31

4 Đềthi tuyển sinh trường KHTN - ĐHQG Hà Nội năm 2017-2018 (Không

Chuyên) 38

5 Đềthi tuyển sinh trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội (Vòng 2) 44

6 Đềthi tuyển sinh trường THPT chuyên, Bình Dương, 2017 62

7 Đềthi tuyển sinh THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 69

8 Đềthi tuyển sinh trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa - Vũng

Tàu (vòng 2) 81

9 Đềthi tuyển sinh trường THPT chuyên, tỉnh Bạc Liêu 94

10 Đềthi chuyên sởGD&ĐT Hưng Yên 103

11 Đềthi THPT chuyên Lương ThếVinh sởGD&ĐT Đồng Nai 111

12 Đềthi tuyển sinh THPT Chuyên Tiền Giang 116

1 ĐỀTUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM

1 Đềtuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong,

TP HCM

a) Cho các sốthực a, b, c sao cho a + b + c = 3, a2 + b2 + c2 = 29 và abc = 11.

Tính a5 + b5 + c5.

b) Cho biểu thức A = (m + n)2 + 3m + n với m, n là các sốnguyên dương.

Chứng minh rằng nếu A là một sốchính phương thì n3 + 1 chia hết cho m.

Bài 1

Phân tích. a) Đểtính a5 +b5 +c5, ta cần biểu diễn a5 +b5 +c5 theo các biểu thức đối

xứng chứa 3 biến a, b, c. Trong đó, bậc của a, b, c trong các biểu thức đó nhỏhơn 5.

Phân tích theo bậc ta dễthấy:

i) a5 +b5 +c5 = (a2 +b2 +c2)(a3 +b3 +c3)−[a2b2(a+b)+b2c2(b+c)+c2a2(c+a)].

ii) a5 + b5 + c5 = (a + b + c)(a4 + b4 + c4) −[ab(a3 + b3) + bc(b3 + c3) + ca(c3 + a3)].

Như vây, ta cần tính ab + bc + ca, a3 + b3 + c3, a4 + b4 + c4.

• ab + bc + ca = (a + b + c)2 −(a2 + b2 + c2) 2 .

• Tính a3 + b3 + c3.

Đối với a3 + b3 + c3 ta có rất nhiều đẳng thức biểu thịa3 + b3 + c3 qua các

biểu thức chứa 3 biến a, b, c (a, b, c đối xứng nhau) như sau:

a) a3 +b3 +c3 = (a2 +b2 +c2)(a+b+c)−[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)].

b) a3 + b3 + c3 −3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 −ab −bc −ca).

c) a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 −3(a + b)(b + c)(c + a).

• a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 −2(a2b2 + b2c2 + c2a2).

b) Bước 1. Ta cần tìm mối liên hệgiữa m và n đểA = (m + n)2 + 3m + n là sốchính

phương. Do trong A xuất hiện (m + n)2 nên hiển nhiên A > (m + n)2. Như vậy,

nếu ta tìm được sốα (α ∈N∗) nhỏnhất sao cho A < (m + n + α)2 sau đó ta dùng

phương pháp chặn đểtìm biểu thức f(m, n) sao cho A = [f(m, n)]2.

Ta xét 3m + n < 2α(m + n) + (α)2. (∗)

Dễthấy α = 2 là sốnguyên dương nhỏnhất thỏa (∗).

Khi đó ta có (m + n)2 < (m + n)2 + 3m + n < (m + n + 2)2.

Do đó (m + n)2 < A < (m + n + 2)2.

3