Đề tuyển sinh chuyên môn Toán năm 2021 2022 sở GD ĐT Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2021 – 2022

ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi

Bài 1. (2 điểm)

1) Cho biểu thức 1 1 4 5 . 4 1 1 1 x x A x x x x x

   + + = − − +       − − +   

(với 0, 1 x x ≥ ≠).

Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các giá trị của x để 2 A ≥ . 2) Cho hai phương trình (ẩn x ; tham số ,a b)

( ) ( )

2

2 0 1

2 0 2

x ax b

x bx a

+ + =

+ + =

Tìm tất cả các cặp số thực ( ) ;a b để mỗi phương trình trên đều có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

2 1 0 x x x − = , trong đó 0x là nghiệm chung của hai phương trình và 1 2 , x x lần lượt là hai nghiệm còn

lại của phương trình ( ) 1 , phương trình ( ) 2 .

Bài 2. (2 điểm)

1) Giải phương trình 3 2 2 2 x x x + − = − .

2) Giải hệ phương trình

2 2

2 4

2 4

x y xy x

y xy y

 + + = +  + = − 

.

Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( ) AB AC ≠ nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi I là tâm đường

tròn bàng tiếp trong góc  BAC của tam giác ABC . Đường thẳng AI cắt BC tại D , cắt đường tròn ( ) O tại ( ) E E A ≠ .

a) Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC .

b) Kẻ IH vuông góc với BC tại H . Đường thẳng EH cắt đường tròn ( ) O tại F ( ) F E ≠ .

Chứng minh AF FI ⊥ .

c) Đường thẳng FD cắt đường tròn ( ) O tại ( ) M M F ≠ , đường thẳng IM cắt đường tròn ( ) O

tại N ( ) N M ≠ . Đường thẳng qua O song song với FI cắt AI tại J , đường thẳng qua J song

song với AH cắt IH tại P . Chứng minh ba điểm , , N E P thẳng hàng.

Bài 4. (1 điểm) Cho các số thực dương , , x y z . Chứng minh rằng

3 2 2 2

x xy y yz z zx xyz x y y z z x + + ≥ + + +

.

Bài 5. (2 điểm)

1) Tìm các số nguyên dương ,x y thỏa mãn

4 2 2 2 3 3 y y x x + − = − .

2) Cho tập hợp { } 1;2;3;...;101 X = . Tìm số tự nhiên ( ) 3 n n ≥ nhỏ nhất sao cho với mọi tập con

A tùy ý gồm n phần tử của X đều tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt , , a b c A ∈ thỏa mãn

a b c + = .

------- HẾT ------- Họ tên thí sinh: ..................................................................... Số báo danh: ................................. Cán bộ coi thi 1: ................................................. Cán bộ coi thi 2: ..............................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2021 – 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN Bài Đáp án Điểm

1 (2,0 điểm)

1) (1,0 điểm)

1 1 1 . 1 1 1 x x A x x x x + +   = −   − − +  

0,25

( ) ( )( )

1 1 . 1 1 1 1

x x x x x

x x x x x

− + + + = = + − − + +

0,25

3 2 2 2 0 1 1 x x A x x − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − −

0,25

2 4 1 1 3 9 x x ⇔ ≤ < ⇔ ≤ < (TMĐK). 0,25

2) (1,0 điểm)

Có ( )

2 0 0 0 2 0 0

0 2 2 0

x ax b a b x a b x bx a

 + + =  ⇒ − = −  + + = 

0 2a b x a b − ⇒ = − (vì nếu 0 a b − = ( ) 2 0 0 a b a b l ⇒ − = ⇒ = = ) 0,5

2 0 1 x x x a = + = −, thay vào ( ) 2 : 2 2 0 a ab a − + = ( ) 2 0 a a b ⇔ − + = 0 2 0 a a b =  ⇔− + = 

.

+TH1: 0 0 1 a x = ⇒ = , thay vào ( ) 1 : 1 b = − (tm bài toán)

0,25

+TH2: 2 0 a b − + = 0 2 2 2

a x

b a

−  =  ⇒ = + 

thay vào ( ) 1 : ( ) ( )

2 2; 4 8 12 0 6; 8

a b l a a a b tmbt

= = − + = ⇔= = 

.

Vậy có hai cặp số ( ) ( ) 0; 1 , 6;8 − thỏa mãn đề bài.

0,25

2 (2,0 điểm)

1) (1,0 điểm)

ĐKXĐ: 0 x ≥ . PT 2 2 3 2 2

x x x x

− ⇔ = − + + ( ) 1 2 1 0 3 2 2 x x x   ⇔ − − =   + +   0,5

1 1 1, 0 3 2 2 2 x x x ≤ < ∀≥ + +

nên phương trình 1 1 0 3 2 2 x x −= + +

vô nghiệm. 0,25

Với 2 0 2 x x − = ⇔ = (TMĐKXĐ) 0,25

b) (1,0 điểm)

2 2 2 2

2 2 4 2 3 0

2 4 2 4 0

x y xy x x y xy x y

y xy y y xy y

  + + = + + + − − =   ⇔ ⇔   + = − + − + =    

( )( )

( ) 2 2 1 0

2 4 0 2

x y x y

y xy y

 + − + =  + − + = 

0,5

2 1 0 1 2 x y x y + −= ⇒ = − . Thay vào (2): 2 1; 3 3 4 0 4 5 ; 3 3

y x y y y x

= − =   − − = ⇔ = = − 

0,25

0 x y x y + = ⇒ = − . Thay vào (2): 2 1 17 4 0 2 y y y −± + − = ⇔ = x = −

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( ) 5 …