Đề vào môn Toán (chuyên) năm 2023 2024 trường chuyên Hùng Vương Phú Thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2023-2024

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,0 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 2 2 2 1 2 8 0 x m x m m − − + − − = có hai

nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 6 . x x + =

b) Cho ( )

( )

2 2 1 1 1 1 f x x x = + + +

với 0, 1. x x ≠ ≠− Tính ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2023 . f f f f + + + + 

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Cho các số nguyên , , , a b c d thỏa mãn điều kiện 3 3 3 3 8 28 0. a b c d + − + =

Chứng minh rằng ( ) 2 a b c d + + + chia hết cho 9.

b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức ( ) P x có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện ( ) 2 2 P x −

chia hết cho ( ). P x

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình ( )

( ) ( )( )

( )

2 2

2 2

2 1 1 3 , . 2 2 3 1 2

x x x y y x y y x y y x

 + − + = − + +  ∈   − − = + + 



b) Bạn An viết lên trên bảng 11 số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) có tổng bằng 30. Chứng minh rằng bạn An có thể xóa đi một số số sao cho các số còn lại trên bảng có tổng bằng 10.

Câu 4 (3,0 điểm). Trên đường tròn tâm O đường kính 2 AB R = lấy điểm N sao cho AN R = và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BN ( M khác B và N ). Gọi I là giao điểm của AM và , BN H là hình chiếu của I trên , AB IH cắt AN tại , C K là điểm đối xứng với N qua . AB a) Chứng minh . . CM CB CI CH = và ba điểm , , K H M thẳng hàng.

b) Gọi P là giao điểm thứ hai của NH và ( ). O Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác HPK thuộc đường thẳng cố định khi M thay đổi.

c) Xác định vị trí của điểm M để tổng MB MN + đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5 (1,0 điểm). Xét các số thực dương , , ; a b c tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 . 9 9 9

a b c F a bc b ac c ab = + + + + +

.......................Hết.....................

Họ và tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:........................

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2023-2024 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)

Hướng dẫn chấm có 06 trang I. Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án – thang điểm Câu 1 (2 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 2 2 2 1 2 8 0 x m x m m − − + − − = có hai

nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 6 . x x + =

Đáp án Điểm Xét phương trình: ( ) 2 2 2 1 2 8 0. x m x m m − − + − − =

Ta có : ( ) ( ) 2 2 ' 1 2 8 9 0, m m m m ∆= − − − − − = > ∀     nên phương trình luôn có hai nghiệm

phân biệt 1 2 , . x x

0,25

Ta tìm được hai nghiệm của phương trình là 4 x m = − và 2. x m = + 0,25 Trường hợp 1 : 1 2 4, 2, x m x m = − = + bài toán trở thành :

( ) 2 2

4 6 2 2 2

2 2 0 2 1 1 2 3 2 0 2 2 2

m m m m

m m m m m m m m m m m

− + = + ⇔ + = +

≥−  + ≥  ≥− = −     ⇔ ⇔ ⇔ = −      = − + + = + = +       = −  

0,25

Trường hợp 2: 1 2 2, 4, x m x m = + = − bài toán trở thành :

2 6 4 8 4 m m m m + + = − ⇔ + = −

( ) 2 2

8 0 8 8

4 0 4 4

15 68 0 8 4

m m m

m m m

m m m m m

  + ≥ ≥− ≥−     ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥       ∈∅ + + =  + = −  

(vô nghiệm).

Vậy 1, 2 m m = − = − thỏa mãn là các giá trị phải tìm.

0,25

b) Cho ( )

( )

2 2 1 1 1 1 f x x x = + + +

với 0, 1. x x ≠ ≠− Tính ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 ... 2023 . f f f f + + + +

Đáp án Điểm

Ta có: ( ) ( )

2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 f x x x x x = + + = + − + +

với 0. x > 0,25

Thật vậy, khi 0, x > hai vế của đẳng thức đều dương nên bình …