Đề vào 10 môn Toán (chuyên Tin) 2022 2023 trường chuyên Hùng Vương Phú Thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề

Đề thi có 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho phương trình ( ) 2 2 2 2 5 0. x m x m − − + − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân

biệt 1 2 , x x thỏa mãn

1 2

1 1 3. x x + =

b) Chứng minh rằng 3 3 10 3 10 3 2 2 9 9 P = + + − là số nguyên.

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình ( ) 2 2 2 8 4 4 0. x xy x y − + + − =

b) Chứng minh rằng nếu , m n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2 2 2022 2023 m m n n + = + thì ( ) 2022 1 m n + + là số chính phương.

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình 2 4 3 15 3 1 0. x x x − + − + = b) Cho hai số thực , a b phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác nhau ( 3) n ≥ sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và .b Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O có đường cao 1, AA đường trung tuyến 1 BB và đường phân giác trong 1. CC Gọi , , D E F lần lượt là giao điểm của 1 1 1 , , AA BB CC

với ( ). O Biết 1 1 1 A B C là tam giác đều. a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng , CE N là trung điểm của đoạn thẳng , CD I là giao

điểm của AN và . FM Tính . AIF c) Tia CI cắt AF và ( ) O lần lượt tại J và . K Chứng minh rằng I là trung điểm của . CK

Tính tỉ số . JA JF

Câu 5 (1,0 điểm). Cho , a b là các số thực dương thỏa mãn ( ) 2 2 2 0. a b ab a b ab + − + + = Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( )

2 3 3 2 1 2 3 . 2

a b ab ab P ab

+ + + − =

--------------------------HẾT--------------------------

Họ và tên thí sinh:………………………………………………………….………..Số báo danh:………………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn chấm có 06 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài tự luận

- Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án – thang điểm Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho phương trình ( ) 2 2 2 2 5 0. x m x m − − + − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân

biệt 1 2 , x x thỏa mãn

1 2

1 1 3. x x + =

b) Chứng minh rằng 3 3 10 3 10 3 2 2 9 9 P = + + − là số nguyên.

Nội dung Điểm a) Cho phương trình ( ) 2 2 2 2 5 0. x m x m − − + − = Tìm m để phương trình có hai

nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn

1 2

1 1 3. x x + = 1,0

Tính được ( ) 2 3 . m ′ ∆= −

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 , 0 x x ≠ thì

3 0 . 5 2 5 0 2

m

m m

≠  ′ ∆>   ⇔   − ≠ ≠  

0,25

Theo Vi-et có ( ) 1 2

1 2

2 2

2 5

x x m

x x m

+ = −   = − 

0,25

( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 11 3 3 3 2 2 3 2 5 . 4 x x x x x x m m m x x x x + + = ⇔ = ⇔ + = ⇔ − = − ⇔ = 0,25

Kết hợp điều kiện kết luận 11 4 m = là giá trị cần tìm. 0,25

b) Chứng minh rằng 3 3 10 3 10 3 2 2 9 9 P = + + − là số nguyên. 1,0

Ta có 3 3 3 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 2 2 3 2 2 2 2 9 9 9 9 9 9 P      = + + − + + − + + −          

0,25

3 3 3 10 3 10 3 4 3 2 2 . 4 2 9 9 P P P P    ⇔ = + + − ⇔ = +      

0,25

( )( ) 3 2 2 2 2 4 0 2 2 2 0 2 2 0

P P P P P P P P

=  ⇔ − − = ⇔ − + + = ⇔ + + = 

0,25

Vì ( ) 2 2 2 2 1 1 0, P P P P + + = + + > ∀ nên phương trình 2 2 2 0 P P + + = vô nghiệm. Vậy 2, P = hay P là số nguyên (đpcm).

0,25