Đề tuyển sinh Toán (chuyên) 2022 2023 trường chuyên Lê Quý Đôn BR VT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

Năm học: 2022 – 2023

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi:09/06/2022 Câu 1 (3,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức 2 2 2 2 2( 1) : (1 ) ( 1)( 1) ( 1) x x x P x x x x

              

với 0, 1 x x  .

b) Giải phương trình: 2 3 2 ( 1) 2 5 0 x x x x      .

c) Giải hệ phương trinh:

2

2

4 2 0

4 4 1 0

x xy x

y x y

         

.

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Cho các số thực , , , a b c d thỏa mãn 2 ac b d   . Chứng minh phương trình sau luôn

có nghiệm    2 2 0 x ax b x cx d     

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn phương trình

2 ( )(2 3 ) 2 2 0 x y x y x y       .

Câu 3 (1,0 điểm).

Với các số thực dương , , x y z thỏa mãn   2 2 2 2 3 ( ) x y z y x z     .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   2 2 2( ) P x y z x z      .

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn ( ) AB AC  nội tiếp đường tròn tâm Ovà có ba đường cao

, , AD BE CF cắt nhau tại H . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của AH và BC .

a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với EF và IJ song song với OA.

b) Gọi , K Q lần lượt là giao điểm của EF với BC và AD . Chứng minh rằng QE KE QF KF  .

c) Đường thẳng chứa tia phân giác của  FHB cắt , AB AC lần lượt tại M và N . Tia

phân giác của  CABcắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm P khác A . Chứng minh ba điểm , , H P J thẳng hàng.

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho tam giác ABC cố định có diện tích S . Đường thẳng d thay đổi đi qua trọng tâm của tam giác ABC cắt các cạnh , AB AC lần lượt tại , M N , Gọi 1 2 , S S lần lượt là

diện tích các tam giác ABN và ACM . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 S S  .

--------------HẾT-------------

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức 2 2 2 2 2( 1) : (1 ) ( 1)( 1) ( 1) x x x P x x x x

              

với 0, 1 x x  .

b) Giải phương trình: 2 3 2 ( 1) 2 5 0 x x x x      .

c) Giải hệ phương trinh:

2

2

4 2 0

4 4 1 0

x xy x

y x y

         

.

Lời Giải:

a)

2 2

2 2 2 ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 1) ( 2 )( 1) ( 1)( 1) 2( 1) 2( 1) ( 1) x x x x x x x P x x x x x x

                      

.

b) Điều kiện : 5 2 x  .

Phương trình

1 0(1) ( 1)( 2 2 5) 0

2 2 5(2)

x x x x

x x

           

.

(1) 1 x   (không thỏa mãn điều kiện).

2 2 2 2 (2) 3. ( 2) 2 5 6 9 0

x x x x x x x

                

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là {3} S  .

c) Cộng hai phương trình đã cho theo vế được

2 2 1 ( 2 ) 2( 2 ) 3 0 2 3

x y x y x y x y

          

.

Trường hợp 1: 2 1 1 2 x y x y    thay vào phương trình sau của hệ thu được

2

0 1 4 1 2 4 1 0 1 2 2

y x y y y

y x

            

Trường hợp 2 : 2 3 2 3 x y x y     thay vào phương trình sau của hệ thu được

2 2

1 17 5 17 4 2 4 3 2 4 1 0 2 2 0

1 17 5 17 4 2

y x y y y y y

y x

               

      

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm

  1 5 17 1 17 5 17 1 17 1;0 ; 2; ; ; ; ; 2 2 4 2 4

                    

.