Đề tuyển sinh chuyên môn Toán (chuyên) năm 2022 trường ĐHSP Hà Nội

Giải chi tiết đềthi Toán chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim

Giải chi tiết đềthi Toán chuyên trường THPT

chuyên Sư Phạm

Nguyễn Duy Khương - Nguyễn Văn Hoàng - Nguyễn Khang - Nguyễn Hoàng Việt

1 Câu 1

a) Không sửdụng máy tính, hãy tìm giá trịbiểu thức P = 3p

7+5 p

2 +

3p

7−5 p

2

b) Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a ̸= 0).Chứng minh rằng nếu P(x) nhận

giá trịnguyên với mỗi sốnguyên x thì ba số2a,a + b, c đều là những số

nguyên. Sau đó chứng tỏnếu ba số2a,a + b, c là những sốnguyên thì

P(x) cũng nhận giá trịnguyên với mỗi sốnguyên x.

Lời giải.

a) Ta có:

P3 = 7+5 p

2+7− p

2+3(7+5 p

2)(7−5 p

2).P

⇔P3 = 14−3P

⇔(P −2)(P2 +2P +7) = 0

Mà P2 +2P +7 = (P +1)2 +6 ≥6 > 0

⇒P = 2

Vậy P = 2

b) * Chiều thuận:

Ta tính: P(0) = c ∈Z ; P(1) = a+ b + c ∈Z;P(−1) = a−b + c ∈Z

⇒a+ b,a−b ∈Z

⇒(a+ b)+(a−b) = 2a ∈Z

* Chiều đảo :

Ta biến đổi: P(x) = a(x2 −x)+(a+ b)x+ c

Xét với x ∈Z:

Ta có: x2 −x...2, mà 2a ∈Z ⇒a(x2 −x) ∈Z

Lại có: a+ b, c ∈Z

Suy ra P(x) ∈Z với mọi ∈Z .

1 01/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim

2 Câu 2

Cho tam giác ABC đều ngoại tiếp (O). Cung nhỏOB của đường tròn ngoại

tiếp tam giác (OBC) cắt đường tròn (O) tại E. Tia BE cắt đường tròn (O) tại

điểm thứhai là F.

a) Chứng minh rằng: EO là tia phân giác góc CEF.

b) Chứng minh rằng: ABOF là tứgiác nội tiếp.

c) Gọi D là giao điểm thứhai của CE và đường tròn (O). Chứng minh rằng

A,F,D thẳng hàng.

Lời giải.

a) Ta có:  BEC = ƒ BOC = 120◦do BEOC nội tiếp. Ta có: ƒ FEC = 180◦−120◦= 60◦

Ta lại có: ƒ OEC = ƒ OBC = 30◦dẫn đến: OE là phân giác góc FEC.

b) ƒ OFE = ƒ OFB = ƒ OEF = ƒ OCB = 30◦= ƒ OAB. Do đó: AFOB là tứgiác nội tiếp.

2 01/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim

c) Chứng minh tương tựý b) ta có: AODC là tứgiác nội tiếp. Do đó: ƒ ODF = ƒ OCA = 30◦dẫn đến tam giác EFD đều. Suy ra: ƒ EFD+ƒ AFB = 60◦+120◦=

180◦suy ra: A,F,D thẳng hàng.

3 Câu 3

Cho a,b, c,d là các sốnguyên dương sao cho ab = cd. Chứng minh rằng số

N = a2022 + b2022 + c2022 + d2022

là hợp số.

Lời giải. Ta chứng minh bài toán tổng quát với cùng điều kiện,

N = ak + bk + ck + dk

là hợp sốvới mọi sốnguyên dương k.

Thật vậy, đặt m = gcd(a, c) thì tồn tại a1, c1 ∈Z+ sao cho a = ma1, c = mc1 với

(a1, c1) = 1. Ta có ab = cd ⇒a1b = c1d.

Suy ra a1b...c1 mà (a1, c1) = 1 ⇒b...c1, làm tương tựsuy ra d...a1.

Vậy ta có thểtiếp tục đặt b = c1b1,d = d1a1 với b1,d1 là các sốnguyên dương.

Trởlại đẳng thức a1b = c1d ⇔a1c1b1 = c1d1a1 ⇒b1 = d1 = s.

Do đó:

N = ak + ck + bk + dk

= (ma1)k +(mc1)k +(c1b1)k +(d1a1)k

= mk ¡ ak 1 + ck 1 ¢ + sk ¡ ck 1 + ak 1 ¢

= ¡ mk + sk¢¡ ak 1 + ck 1 ¢ .

Mặt khác chú ý rằng m,s,a1, c1 đều là các sốnguyên dương từđó N luôn là

hợp sốvới mọi k ∈Z+. (đpcm) □

4 Câu 4

Ta viết 10 số0,1,...,9 vào mười ô tròn trong hình bên, mỗi sốđược viết đúng

1 lần. Sau đó, ta tính tổng ba sốtrên mỗi đoạn thẳng đểnhận được 6 tổng.

3 01/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim

Có hay không một cách viết 10 sốnhư thếsao cho 6 tổng nhận được là bằng

nhau.

Lời giải.

Giảsử6 tổng này bằng nhau, kí hiệu các điểm như hình bên dưới.

• Tổng các sốtrên đoạn OA là A + P +O.

• Tổng các sốtrên đoạn OB là O +B + N.

• Tổng các sốtrên đoạn OC là O + M +C

• Tổng các sốtrên đoạn AC là A + E +C.

• Tổng các sốtrên đoạn BC là B + D +C.

• Tổng các sốtrên đoạn AB là A + F +B.

Dẫn đến tổng các sốtrên 6 đoạn là S = 3(A +B +C)+ D + E + F + M + N + P và

sốnày chia hết cho 6 do chúng là bằng nhau. Do đó:

Ta có

S ≡A +B +C + D + E + F + M + N + P(mod 2)

mà S chia hết cho 2 nên tổng các sốtrên cũng chia hết cho 2 dẫn đến vô lý

do tổng của chúng là 45 không chia hết cho 2. Vậy không tồn tại cách điền.

4 01/6/2022