Đề thi và đáp án môn Toán khối D năm 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 −−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 −3x −2 (1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z −z)(1 + i) −5z = 8i −1. Tính môđun của z.

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

π

4 Z

0 (x + 1) sin 2x dx.

Câu 4 (1,0 điểm).

a) Giải phương trình log 2(x −1) −2 log4(3x −2) + 2 = 0.

b) Cho một đa giác đều n đỉnh, n ∈N và n ≥3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 6x + 3y −2z −1 = 0 và mặt cầu (S) : x2 +y2 +z2 −6x−4y −2z−11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm D(1; −1). Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y −9 = 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y −7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình (x+1)√x + 2+(x+6)√x + 7 ≥x2 +7x+12.

Câu 9 (1,0 điểm). Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1 ≤x ≤2; 1 ≤y ≤2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x + 2y x2 + 3y + 5 + y + 2x y2 + 3x + 5 + 1 4(x + y −1).

−−−−−−Hết−−−−−−

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM −−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu Đáp án Điểm 1 a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tập xác định D = R. • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ′ = 3x2 −3; y′ = 0 ⇔x = ±1.

0,25

Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) và (1; +∞); khoảng nghịch biến: (−1; 1). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = −1, y CĐ = 0; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = −4. - Giới hạn tại vô cực: lim x→−∞y = −∞; lim x→+∞y = +∞.

0,25

- Bảng biến thiên:

x −∞ −1 1 +∞ y′ + 0 − 0 +

y 0 +∞

−∞ −4 1 PPPPPP q 1

0,25

• Đồ thị:

x

y

−1

−4

1

O

−2

0,25

b) (1,0 điểm)

M ∈(C) ⇒M(a; a3 −3a −2). 0,25

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng 9 ⇔y′(a) = 9 0,25

⇔3a2 −3 = 9 ⇔a = ±2. 0,25

Tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(2; 0) hoặc M(−2; −4). 0,25

2 Đặt z = a +bi (a, b ∈R). Từ giả thiết ta được [3(a +bi) −(a −bi)](1 +i) −5(a +bi) = 8i −1 0,25 (1,0đ)

⇔ 3a + 4b = 1 2a −b = 8 0,25

⇔ a = 3 b = −2. 0,25

Do đó môđun của z là p

32 + (−2)2 = √

13. 0,25

1