Bài toán thực tế liên quan đến hình học Nguyễn Bá Hoàng

Page | 1 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353

Bài toán thực tế liên quan đến hình học

A. Nội dung kiến thức.

Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh một số nội dung như sau: Tính toán để đường đi được ngắn nhất, tính toán để diện tích được lớn nhất, hay cũng có thể đơn giản là tính diện tích hoặc thể tích của một vật…

Ta chú ý một số kiến thức sau: 1. Công thức tính chu vi, diện tích của các hình, thể tích của các khối hình.

 Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt

, , , . a BC b CA c AB h AH    

Chu vi tam giác là: . P a b c   Diện tích tam giác là:

1 1 .sin ( )( )( ). 2 2 S ah ab C p p a p b p c      

(với 2 P p  ).

 Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc ở tâm bằng (tính theo radian).

Chu vi của hình quạt là: 2 . . 2 P R P R       

Diện tích của hình quạt là: 2 2 2 . . 2 S R S R       

 Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng r và có đọ dài đường sinh bằng l là: . xq S rl  

Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay bằng diện tích xung quanh của

hình nón cộng với diện tích đáy của hình nón:

2. tp S rl r    

Thể tích của khối nón tròn xoay có có chiều cao h và bán kính đáy bằng r

là: 2 1 . 3 V r h  

 Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh của hình trụ có bán kính đáy bằng r và có đường sinh bằng l là: 2 . xq S rl  

Diện tích toàn phần của hình trụ bằng diện tích xung quanh của hình trụ đó

cộng với diện tích hai đáy của hình trụ:

2 2 2 . tp S rl r    

Thể tích của khối trụ có chiều cao h và có bán kính đáy bằng r là: 2 . V r h   Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng và khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) thì . h l 

H

A

B C

α O

A

B

h

l

r

h l

r

Page | 2 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353

 Mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: 2 4 . S R  

Khối cầu bán kính R có thể tích là: 3 4 . 3 V R  

2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng.

Có lẽ đây là một bài toán khá quen thuộc với rất nhiều bạn đọc, tác giả sẽ không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc một số công thức sau:

 Cho hàm số 2 , y ax bx c    nếu 0 a  thì hàm số đã cho đạt giá trịnhỏ nhất trên khi . 2 b x a 

 Cho hàm số 2 , y ax bx c    nếu 0 a  thì hàm số đã cho đạt giá trịlớn nhất trên khi . 2 b x a 

 Với ,a b là các số thực dương thì ta có:

2 ( ) . 2 4

AM GM a b a b ab ab

      Đẳng thức xảy ra khi

. a b 

 Với , , a b c là các số thực dương thì ta có:

3 3 ( ) . 3 27

AM GM a b c a b c abc abc

      Đẳng thức

xảy ra khi . a b c   Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc. 3. Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích của khối tròn xoay.

 Nếu hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn   ;a b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các

đường : ( ), 0, , y f x y x a x b     là ( ) .

b

a S f x dx 

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ( ), ( ) y f x y g x   liên tục trên đoạn

  ;a b và hai đường thẳng , x a x b   là ( ) ( ) .

b

a S f x g x dx   

 Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên   ; . a b Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới

hạn bởi các đường : ( ), 0, , , y f x y x a x b     khi quay xung quanh trục hoành được tính theo

công thức : 2( ) .

b

a V f x dx  

 Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường : ( ), ( ), y f x y g x  

(0 ( ) ( ); f x g x   f, g liên tục trên đoạn   ; ), a b , , x a x b   khi quay xung quanh trục Ox được

tính theo công thức : 2 2 ( ) ( ) .

b

a V g x f x dx       R

R