Chuyên đề phương trình đại số Trịnh Bình

Tác giả: Trịnh Bình tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

1

PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán

THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về các bài toán về

phương trình đại số. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp

ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về cấu tạo số thường được ra

trong các kì thi gần đây. Các bài toán về phương trình đại số thường liên quan đến phương trình

bậc cao, phương trình phân thức và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp

con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề về phương trình đại số sẽ có thể giúp ích nhiều cho học

sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,

sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

Tác giả: Trịnh Bình tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

CHỦ ĐỀ 1. PHƢƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO

A. Kiến thức cần nhớ

Để giải phương trình đa thức bậc cao chúng ta thường chuyển phương trình đó về

dạng phương trình tích.

Phƣơng trình tích

- Phương trình có dạng: A(x). B(x) = 0 ; trong đó A(x), B(x) l| c{c đa thức của biến x.

- Phương ph{p chung : Muốn giải phương trình A(x).B(x) = 0 ta giải hai phương trình

A(x) = 0 và B(x) = 0 , rồi lấy tất cả các nghiệm thu được.

A(x). B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.

- Mở rộng:

B. Một số ví dụ minh họa

I. Phƣơng trình bậc 3.

1) Lý thuyết.

Phương trình bậc 3 l| phương trình có dạng:        3 2 ax 0 0 bx cx d a (1)

Phƣơng pháp giải. Thông thường để giải được phương trình (1) chúng ta phải tìm được

một nghiệm 0x của phương trình, sau đó ph}n tích thành nhân tử và chuyển về giải

phương trình bậc 2.

            3 2 2 0 ax 0 0 bx cx d x x mx nx p       

0 2 0 (*) x x mx nx p

Phương trình (*) l| phương trình bậc 2 chúng ta đã biết cách giải tổng quát theo .

Mấu chốt của việc giải phương trình bậc (3) l| tìm được một nghiệm 0x của phương trình

đó, chúng ta có một số chú ý về cách nhẩm nghiệm của phương trình bậc 3 như sau:

- Nếu tổng các hệ số của phương trình (1) bằng 0 tức là a + b + c + d = 0 thì phương trình

(1) nghiệm 0 1 x  . Chẳng hạn: 3 2 4 2 5 0 x x x    ta có: 4 – 1 + 2 – 5 = 0

- Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ của phương trình (1) bằng 0 tức là

a - b + c - d = 0 thì phương trình (1) có nghiệm 0 1 x  . Chẳng hạn: 3 2 5 3 9 0 x x x    

ta có 1 + 5 + 3 – 9 = 0.



A(x) 0 B(x) 0 A(x).B(x).....M(x) 0 ... M(x) 0

         

Tác giả: Trịnh Bình tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

- Nếu a, b, c, d là các số nguyên và 0 m x n  là nghiệm hữu tỷ của (1) thì m l| ước của d và n

l| ước của a. Đặc biệt trường hợp a = 1 thì phương trình (1) có nghiệm 0x l| ước của d.

Thí dụ 1. Giải phương trình:

3 3 2 3 2 ) 3 2 0 ) 3 – 7 – 7 3 0 ) 3 10 0. a x x b y y y c x x x        

Hƣớng dẫn giải

a) Ta thấy a + b + c + d = 1 + 0 – 3 + 2 = 0 nên phương trình có một nghiệm x = 1.

PT x3 – x2 + x2 – x – 2x + 2 = 0

x2(x – 1) + x(x – 1) – 2(x – 1) = 0

(x – 1)(x2 + x – 2) = 0

              2 1 0 1 2 0 2 x x x x x

Vậy tập nghiệm của phương trình l|   1;2 S 

b) Ta thấy a - b + c - d = 3 + 7 – 7 – 3 = 0 nên phương trình có nghiệm y = - 1.

PT 3y3 + 3y2 – 10y2 – 10y + 3y + 3 = 0

3y2(y + 1) – 10y(y + 1) + 3(y + 1) = 0

(y + 1)( 3y2 – 10y + 3) = 0 (y + 1)( 3y – 1)(y – 3) = 0.

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là

c) Ta có d = - 10 ta nhẩm các số l| ước của 10 thì thấy x = 2 là nghiệm của phương trình.

     

  

3 2

3 2 2

2

2

3 10 0

2 2 5 10 0

. 2 . 2 5. 2 0

2 5 0

2

x x x

x x x x x

x x x x x

x x x

x

   

      

      

    

 

Do 2 5 0 x x x   …