Chuyên đề Dấu của tam thức bậc hai và ứng dụng Đại số lớp 10 chi tiết

1

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

I. Dấu của biểu thức

1. Dấu của tam thức bậc 2:  2 , 0 f x ax bx c a    

Tính 2 4 b ac   TH1: 0  thì  f x luôn cùng dấu với a, x 

x    f x Cùng dấu với a

TH2: 0  thì  0 f x  có nghiệm kép 2

b x a 

và  f x luôn cùng dấu với a, \ 2

b x a         

x  2

b

a  

 f x cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

TH3: 0  thì  0 f x  có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x (giả sử 1 2 x x  )

x  1x 2x   f x cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

Ví dụ: Xét dấu của  f x

1)  2 2 3 4 f x x x   

2)  2 4 4 1 f x x x   

3)  2 2 5 2 f x x x   

Hướng dẫn giải: 1)  2 2 3 4 f x x x   

Ta có:   

2 3 4.2.4 23 0 0, 2 0

f x x a

          



2)  2 4 4 1 f x x x   

 2 1 0 4 4 1 0 2 f x x x x       (nghiệm kép)

x  1

2



 f x + 0 +

Vậy  1 0 \ 2 f x x       

3)  2 2 5 2 f x x x   

 2 1 0 2 5 2 0 2 2 f x x x x x         

2

x  1

2

2 

 f x - 0 + 0 -

Vậy  1 0 ;2 2 f x x        

   1 0 ; 2; 2 f x x           

2. Dấu của biểu thức chứa tích, thương của các nhị thức, tam thức

Giả sử cần xét dấu biểu thức   

. f x g x P h x 

Cách thực hiện:

Bước 1: Cho từng nhị thức, tam thức bằng 0 tìm nghiệm (nếu có)

  

0 ...

0 ...

0 ...

f x

g x

h x

 

 

 

Bước 2: Lập bảng xét dấu:

- Sắp xếp các nghiệm từ nhỏ đến lớn theo chiều từ trái sang phải - Mỗi nhị thức, tam thức ta xét dấu 1 dòng - Dòng cuối là dấu của biểu thức P: Dòng tổng hợp dấu này ta thực hiện như sau:

 Tại vị trí các nghiệm, nghiệm nào làm tử bằng 0 thì P = 0 ta để số 0, nghiệm nào làm mẫu

bằng 0 thì P không xác định ta để dấu

 Dấu của P được tổng hợp theo qui tắc nhân, chia số âm, dương thông thường (để đơn giản ta

chỉ cần đếm dấu “-”, nếu lẻ dấu “-” thì khoảng đó sẽ mang dấu “-” còn chẵn dấu “-” thì khoảng đó sẽ mang dấu “+”)

x    f x

 g x

 h x

P Bước 3: dựa vào bảng xét dấu ta kết luận

Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức    2 2 3 4 2 1 f x x x x x    

Hướng dẫn giải:

 2 4 3 4 0 0 3 x x x x      

 2 1 2 1 0 1 2 x x x x     

3

x  1 2  0 1 4

3



2 3 4 x x  + + 0 - - 0 +

2 2 1 x x   + 0 - - 0 + +  f x + 0 - 0 + 0 - 0 +

Vậy    1 4 0 ; 0;1 ; 2 3 f x x                  

 1 4 0 ;0 1; 2 3 f x x                

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức     2

2 3 1 2

4 3

x x x f x

x x

  

  

Hướng dẫn giải:

 2 1 3 0 0 3 x x x x      

 1 1 2 0 2 x x    

 2 3 4 3 0 1 4 x x x x       

x  -1 0 1

3

1

2

3

4



2 3x x  + + 0 - 0 + + + 1 2x  + + + + 0 - - 2 4 3 x x    - 0 + + + + 0 -  f x - + 0 - 0 + 0 - +

Vậy    1 1 3 0 1;0 ; ; 3 2 4 f x x                  

   1 1 3 0 ; 1 0; ; 3 2 4 f x x                 

Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức    

2

2 2 6 9

4 1 4

x x f x

x x x

  

   

Hướng dẫn giải:  2 6 9 0 3 x x x      (nghiệm kép)

 2 4 1 0 x x    : phương trình vô nghiệm

 2 4 0 2 2 x x x     