Phần 2. Cách giải hệ phương trình bằng máy tính casio

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ

TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Như chúng ta đã biết, phương trình và hệ phương trình là một dạng toán hay và khó, được rất nhiều bạn học sinh và thầy cô giáo yêu thích. Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải một phương trình hay hệ phương trình, nhiều khi chúng ta cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng hơn trong việc giải toán. Đó là một điều khá khó, không hẳn ai cũng làm được, không có phương pháp chung để giải. Em xin trình bày ý tưởng của em về phương pháp phân tích thành nhân tử trong Phương trình vô tỷ và Hệ phương trình có hệ số nguyên. I. Phương trình vô tỷ: Như chúng ta đã biết, việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ thường được đưa về dạng:

   1 1 2 2 f k g a k g b k g    

Phương pháp phân tích:

1. Tìm nghiệm của phương trình 2. Ta chia làm hai trường hợp: a) Nghiệm của phương trình là số vô tỷ Phương pháp được thể hiện qua ví dụ sau: VD1: Giải phương trình:

2 2 ( ) 1 ( 1) 2 3 0 f x x x x x      

Hướng giải: Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình:

{1 2} S  

Bước 2: Tại giá trị x là nghiệm thì giá trị của căn thức là bao nhiêu:

2 1 2 2 3 2 x x x     

2 1 2 2 3 2 x x x      Điều này chứng tỏ sau khi phân tích thành

nhân tử thì sẽ có nhân tử là   2 2 3 2 x x   

Bước 3: Xét tổng, hiệu để làm mất căn thức:

2 2 ( ) ( 1)( 2 3 2) 2 1 f x x x x x x       

Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử ở bước 2:    2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 1 x x x x x x         

Suy ra:

   2 2 ( ) 2 3 2 2 3 2 f x x x x x       

   2 1 2 3 2 x x x     

   2 2 2 3 2 2 3 1 x x x x x       

Nhận xét: Phương pháp này áp dụng cho các bài phương trình vô tỷ mà chỉ có chứa một căn thức và nghiệm của phương trình là số vô tỷ. Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi của phương pháp thì hãy xét ví dụ sau:

VD2: Giải phương trình:

2 ( ) 5 7 13 1 9 1 7 1 0 f x x x x x     

Hướng giải: (tương tự VD1) Bước 1: Tập nghiệm của phương trình là

20 4 7 35 9 5 , 9 8 S            

Bước 2: Tại 20 4 7 9 x   thì

2 7 1 3 x   và 1 2 7 1 3 x  

Bước 3: Do hệ số của phương trình vô tỷ đều là số nguyên nên giả sử sau khi phân tích ( ) f x thành nhân tử thì trong nhân tử

đó có dạng   1 1 a x b x c   với

, , a b c là các số nguyên. Do đó, ta chỉ cần

tìm mối liên hệ giữa các căn thức:

1 2 1 1 0 x x  

Tương tự với nghiệm 35 9 5 8 x   thì mối

liên hệ giữa các căn thức là:

1 3 1 6 0 x x   

Do đó ( ) f x chứa các nhân tử   1 2 1 1 x x   và   1 3 1 6 x x  

Bước 4: Nhẩm thấy

   ( ) 1 3 1 6 2 1 1 1 f x x x x x     

(nếu không thì từ các nhân tử, ta biến đổi dần dần ( ) f x thành các cụm chứa nhân tử đó)

b) Nghiệm của phương trình là số nguyên: TH1: Phương trình vô tỷ chỉ có một căn

thức, biểu thức trong căn có dạng ax b  Lưu ý: Kể cả khi nghiệm của phương trình là số vô tỷ vẫn có thể áp dụng được phương pháp này. VD3: Giải phương trình:

2 ( ) 2 3 2 3 2 0 f x x x x x     

Hướng giải:

Bước 1: Đặt

2 2 3 2 3 t t x x     

Bước 2: Thế

2 2 3 t x   vào phương trình, ta

được:

2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 3 3 3 3 f x t t t t                 

2 1 ( 1)( 2)(2 3 4) 9 t t t t     

Bước 3: Thay ngược trở lại: 3 2 t x   và

2 3 2 t x   vào các nhân tử, ta được:    1 ( ) 3 2 1 3 2 2 9 f x x x     

    2 3 2 3 3 2 4 x x    

    1 3 2 1 3 2 2 2 3 2 3 x x x x       

Từ đó ta có thể phân tích thành nhân tử. TH2: Phương trình vô tỷ chứa 1 căn thức nhưng biểu thức trong căn thức là đa thức bậc cao. VD4: Giải phương trình:

  3 2 2 ( ) 2 2 4 2 1 0 f x x x x x x x        

Nhận xét: Phương trình này khá khó phân tích thành nhân tử vì nó chỉ có nghiệm 2 x  nên căn thức và biến khó có mối liên hệ nào. Do đó, ta sẽ nghĩ tới việc tìm nghiệm phức của phương trình. Bước 1: Từ giải thiết ta …