Ebook inequalities tổng hợp các bài bất đẳng thức của nguyễn xuân huy

Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI

1

CHƯƠNG 1:ĐỀ VÀ LỜI GIẢI Bài 1:Cho x,y,z là các số thực dương có tích bằng 1.Chứng minh: 2 2 2 2 ( ) ( ) 24 xy yz zx x y z x y z         Lời giải 1:Bất đẳng thức tương đương:

2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 24 xy yz zx x y z xy yz zx        

Áp dụng holder ta có:

3 2 3 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) xy yz zx xy yz zx yz zx xy x y z xy yz zx zx xy yz              

Sử dụng bất đẳng thức với a,b,c>0 thì 3 3 3 3 ( ) 24 a b c abc a b c       ta được:

3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 24 24 x y z x y z x y z x y z           Suy ra điều phải chứng minh. Lời giải 2:Bất đẳng thức tương đương với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 4( ) 24 x y z x y y z z x xy yz zx x y z            Sử dụng cauchy ta dễ có điều này.

Bài 2:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ab bc ca      

Chứng minh rằng: 3 a b c abc    Lời giải: (Em trai:Nguyễn Tấn sang-10A1-Chuyên Phan Bội Châu)

Ta có 2 2 1 1 2 (1 ) 1 2 1 2 9 a b ab ab ab      hiển nhiên.

Do đó: 1 1 1 1 1 (3 2( ) 3 9 a b c abc ab bc ca         ,suy ra điều phải chứng minh.

Bài 3:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 3 ab bc ca    .Chứng minh;

( )( ) 9 a b c ab bc ca b c a     

Lời giải: (Em trai:Nguyễn Tấn sang-10A1-Chuyên Phan Bội Châu) Đặt , , x ab y bc z ca    ,khi đó 2 2 2 3 x y z   

Ta cần chứng minh: ( )( ) 9 z x y x y z y z x     

Thật vậy ta có:

2 ( ) z x y x y z y z x xy yz zx        .Ta đi chứng minh: 3 ( ) 9( ) x y z xy yz zx     

Mà

3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 ( ) ( 2( )) (3 ( )( ) ) x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx             

3 2 3 2 (3 3( ) ) 9( ) xy yz zx xy yz zx       Điều phải chứng minh. Bài 4:Chứng minh rằng với các số thực x,y,z ta luôn có: 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 ( ) 3( ) 4( ) x y z xyz x y y z z x      

Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: 6 6 6 2 3 3 3 3 3 3 3( ) 2( ) x y z xyz x y y z z x      

Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI

2

Mà theo schur ta có: 6 6 6 2 2 2 2 2 3 3 3( ) ( ) x y z xyz x y x y x y         .Điều phải chứng minh. Bài 5:Cho a,b,c là các số thực không âm có 1 a b c    và không có hai số nào đồng thời

bằng 0,chứng minh:

2

2 2 2 4 (1 ) 64 ( 1) cyc

b c c a a b a a a bc b ca c ab a            

Lời giải:

Ta có

2 2 2 2

2 2 2 2 4 4 ( ) 4 ( ) 64 ( ) 64 (1 ) ( )( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 1) b c a b c a b c a b c a a a bc a bc ab ac a b a c b c a a                

Làm tương tự ta có điều phải chứng minh. Bài 6:Cho x,y,z là các số thực dương có tích bằng 1,chứng minh: 2 2 2 2( ) x y z xy yz zx x y z        

Lời giải 1:Bất đẳng thức tương đương: 2 1 ( 2 ) 0 x x x     ,hiển nhiên

Lời giải 2:

2 1 2( ) ( ) 2( ) ( ) 2 2 VP xy yz zx x y xy yz zx xy yz y VT               

Bài 7:Cho x,y,z là các số thực,chứng minh rằng:

2 2 2 2 4 ( 3)( 3)( 3) (3 3 3 ) 27 x y z xy yz zx xyz       

Lời giải:Ta biến đổi bất đẳng thức về dạng p,q,r như sau:

2 2 2

2 2 2 2 2 243 45 23 24 162 486 729 0

11(3 ) 12( ) ( 27) 144( 3 ) 32( 3 ) 0

p q r qr pr q

p r q r q p q q pr

      

          

Hiển nhiên,dễ dàng kiểm tra điều này.Ta có điều phải chứng minh,dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi x = y = z = 3

Bài 8:Tìm min và max của (sin +siny)sinz+cosxcosycosz

1 sin sin x p x y  

Lời giải:Ta có

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

(sin +siny)sinz+cosxcosycosz sin cos . (sin +siny) (cosxcosy)

sin 2sin siny+sin (1 sin )(1 sin )

sin sin 2sin siny+1 sin siny+1

x z z x

x x y x y

x y x x

  

    

  

Do đó: 1 1 1 p p  

Vậy:max p = 1 0 x y z     Min p = -1 0, x y z      Bài 9:Cho a,b,c là các số thực dương,chứng minh:

3 3 3 2 2 2 2 3 abc ab bc ca a b c a b c        

Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: